Рассмотрим одну из них — поиск синуса 18 градусов. Заметим, что традиционные методы преобразований исходного выражения Sin 18^\circ по формулам двойных, тройных углов, суммы и произведения функций здесь не .
Начнем с последовательности очевидных равенств:
Sin 54^\circ=Sin \left ( \dfrac{\pi}{2}- 36^\circ \right )
Последнее равенство говорит о том, что Sin 18^\circ является корнем уравнения
3t-4t^3=1-2t^2
или после упрощения
4t^3-2t^2-3t+1=0
Очевидно, что x=1 является одним из его корней.
Следовательно по теореме Безу многочлен из левой части может быть разложен на множители, один из которых t-1 , а второй можно получит либо делением уголком, либо по схеме Горнера, либо непосредственными преобразованиями, выделяющими множитель t-1 . Они представлены ниже:
4t^2(t-1) + 2t^2-3t+1 =0
4t^2(t-1) + 2t(t-1) -t + 1 = 0
4t^2(t-1) + 2t(t-1) - (t -1) = 0
Выносим t-1 за скобку:
(t-1)(4t^2+ 2t -1) = 0
Приравнивая каждый множитель к нулю и решая полученное квадратное уравнение от второго множителя, получим три корня начального уравнения:
Пирамиды — известные каждому архитектурные памятники Древнего Египта. Пирамиды Хеопса и Гизы — одни из семи чудес света. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов . Слово «пирамида» — греческое, означает многогранник. Всего в Египте было обнаружено более 118 пирамид разной формы и высоты. Древняя египетская архитектура даже в наши дни поражает мощью своих громадных каменных сооружений. У входа в эти сооружения, стоят огромные статуи фараонов, лежат сделанные из камня сфинксы. Сфинкс — в Древнем Египте — воплощение царской власти, статуя, изображающая фантастическое существо с телом льва и головой человека или священного животного. Великая пирамида Хеопса является лицом Египетских пирамид и самым масштабным сооружением древности. Возведение пирамиды заняло целых два десятилетия и завершилось в 2560 году до н.э. Высотой в 146.5 метров, она являлась крупнейшим строением в мире на протяжение более 4 тысячелетий. Вес пирамиды – более 6 миллионов тонн. Площадь этого гиганта – около 5 гектаров. Пирамида Хеопса состоит из 2,3 миллионов каменных блоков. Второй по значимости является пирамида Хефрена, сына Хеопса. Её построили на 10-метровом плато, потому она кажется выше пирамиды Хеопса, но это не так. Её высота — 136.4 метра. Неподалеку от пирамиды Хефрена находится Великий Сфинкс — монумент, высеченный в скале. Черты лица Сфинкса повторяют лицо фараона Хефрена. Склепы египетских фараонов находятся не внутри пирамид, как многие ошибочно полагают, а недалеко от них, в Долине Царей. Согласно одной из теорий, построить величественные пирамиды египтянам освоенный ними математический «принцип рычага». Но, в то же время, таким соорудить пирамиду Хеопса удалось бы за полтора столетия. Тогда как появилась она всего за два десятилетия. Египетские пирамиды строились около двух столетий подряд. Пока сооружалась одна, на песках уже возникала другая.
Начнем с последовательности очевидных равенств:
Sin 54^\circ=Sin \left ( \dfrac{\pi}{2}- 36^\circ \right )
Sin 54^\circ=Cos 36^\circ
(применили формулу приведения)
Sin 3 \cdot 18^\circ=Cos 2\cdot 18^\circ
3Sin18^\circ - 4Sin^3 18^\circ = 1- 2Sin^2 18^\circ(формула тройного и двойного углов)
Последнее равенство говорит о том, что Sin 18^\circ является корнем уравнения
3t-4t^3=1-2t^2
или после упрощения
4t^3-2t^2-3t+1=0
Очевидно, что x=1 является одним из его корней.
Следовательно по теореме Безу многочлен из левой части может быть разложен на множители, один из которых t-1 , а второй можно получит либо делением уголком, либо по схеме Горнера, либо непосредственными преобразованиями, выделяющими множитель t-1 . Они представлены ниже:
4t^2(t-1) + 2t^2-3t+1 =0
4t^2(t-1) + 2t(t-1) -t + 1 = 0
4t^2(t-1) + 2t(t-1) - (t -1) = 0
Выносим t-1 за скобку:
(t-1)(4t^2+ 2t -1) = 0
Приравнивая каждый множитель к нулю и решая полученное квадратное уравнение от второго множителя, получим три корня начального уравнения:
t_1=1; t_2 = \dfrac{-1-\sqrt{5}}{4};t_3 = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}
Первые два корня не подходят, как как 18 градусов — угол первой четверти и поэтому Sin 18^\circ \in (0;1), а t_2 ~~ 0.30901
Пирамиды — известные каждому архитектурные памятники Древнего Египта. Пирамиды Хеопса и Гизы — одни из семи чудес света. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов . Слово «пирамида» — греческое, означает многогранник. Всего в Египте было обнаружено более 118 пирамид разной формы и высоты. Древняя египетская архитектура даже в наши дни поражает мощью своих громадных каменных сооружений. У входа в эти сооружения, стоят огромные статуи фараонов, лежат сделанные из камня сфинксы. Сфинкс — в Древнем Египте — воплощение царской власти, статуя, изображающая фантастическое существо с телом льва и головой человека или священного животного. Великая пирамида Хеопса является лицом Египетских пирамид и самым масштабным сооружением древности. Возведение пирамиды заняло целых два десятилетия и завершилось в 2560 году до н.э. Высотой в 146.5 метров, она являлась крупнейшим строением в мире на протяжение более 4 тысячелетий. Вес пирамиды – более 6 миллионов тонн. Площадь этого гиганта – около 5 гектаров. Пирамида Хеопса состоит из 2,3 миллионов каменных блоков. Второй по значимости является пирамида Хефрена, сына Хеопса. Её построили на 10-метровом плато, потому она кажется выше пирамиды Хеопса, но это не так. Её высота — 136.4 метра. Неподалеку от пирамиды Хефрена находится Великий Сфинкс — монумент, высеченный в скале. Черты лица Сфинкса повторяют лицо фараона Хефрена. Склепы египетских фараонов находятся не внутри пирамид, как многие ошибочно полагают, а недалеко от них, в Долине Царей. Согласно одной из теорий, построить величественные пирамиды египтянам освоенный ними математический «принцип рычага». Но, в то же время, таким соорудить пирамиду Хеопса удалось бы за полтора столетия. Тогда как появилась она всего за два десятилетия. Египетские пирамиды строились около двух столетий подряд. Пока сооружалась одна, на песках уже возникала другая.