Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 6см і 8см. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайти об’єм призми.
А) пусть AK : KB = 1 : n AK = x, BL = y, тк AB = CD и BC = AD имеем: cm = ak = x kb = md = nx nd = bl = y lc = an = ny ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm) => kn = lm аналогично получаем kl = nm Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм пусть km ∩ ln = O Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать б) пусть ak = cm = 2x kb = md = 5x bl = nd = 2y an = lc = 5y заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49 ответ: а) доказано; б) 29 / 49.
Итак , возьмем, так сказать, "самый трудный" вариант - есть окружность, нет центра окружности, есть точка А на окружности, через которую нужно провести касательную. Все будем делать одинаковым раствором циркуля для простоты, можно и разным, но для унификации- одним. Решений задачи много, я привожу один из них. рис.1 раствором циркуля делаем засечки на окружности , АВ=АС рис.2 проводим прямые рис.3 на продолжении одной из прямой делаем засечку такой же длины, получим точку Д рис.4 из т.С и Д опять же таким же раствором чертим дуги, при пересечении дают точку М рис. 5 проводим прямую МА - она искомая
доказывать не буду, скажу только , что АДМС - ромб, у него диагонали перпендикулярны.
AK = x, BL = y,
тк AB = CD и BC = AD
имеем:
cm = ak = x
kb = md = nx
nd = bl = y
lc = an = ny
ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm)
=> kn = lm
аналогично получаем
kl = nm
Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм
пусть km ∩ ln = O
Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao
из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать
б) пусть ak = cm = 2x
kb = md = 5x
bl = nd = 2y
an = lc = 5y
заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA
Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA
Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA
Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49
ответ: а) доказано; б) 29 / 49.
Все будем делать одинаковым раствором циркуля для простоты, можно и разным, но для унификации- одним. Решений задачи много, я привожу один из них.
рис.1 раствором циркуля делаем засечки на окружности , АВ=АС
рис.2 проводим прямые
рис.3 на продолжении одной из прямой делаем засечку такой же длины, получим точку Д
рис.4 из т.С и Д опять же таким же раствором чертим дуги, при пересечении дают точку М
рис. 5 проводим прямую МА - она искомая
доказывать не буду, скажу только , что АДМС - ромб, у него диагонали перпендикулярны.