Пусть мы красим в белый и черные цвета. Заметим, что в любой правильной раскраске должно быть поровну обоих цветов. Иначе в каком-нибудь квадрате 2x2 найдется три клетки одного цвета, что невозможно. Теперь будем по порядку рассматривать квадраты 2x2. Пусть изначально прямоугольника покрашен в шахматную расцветку. Для того, чтобы получать новую раскраску будем двигать черные (без ограничения общности - двигая черные мы, грубо говоря, двигаем и белые) клетки (в квадратах, двигаясь слева направо), причем так, чтобы не возникало уголков. Действительно, если они будут возникать, то их придется устранять и тем самым создавать их в квадратах, расположенных правее и в конце концов упремся. Таким образом, для первого квадрата существует три движения (включая тождественную перестановку). Для второго квадрата существует два варианта - если мы двигали черную клетку, стоящую в пересечении первого и второго квадратов, то движений 2, если нет - то три. Итак, можно построить дерево (см. рис.). При переходе по стрелке мы умножаем числа, стоящие в вершинах. В конце концов, числа до которых нельзя добраться, складываем. Итог - кол-во Докажем по индукции, что искомое количество равно , где n - номер уровня (ступени).
База очевидна: при n=1 результат 3, что верно.
Переход: пусть для некоторого n=k верно. Докажем, что верно и для n=k+1. Рассмотрим k+1-ый уровень. Количество троек равно количеству двоек. Поэтому каждое слагаемое, входящее в сумму, которая равна можно умножить сначала на тройки, а потом на двойки, что равнозначно , переход доказан.
Не забудем итоговый ответ также домножить на два, так как существует две различные шахматные расцветки прямоугольника.
Ва ўсе часы людзі мелі патрэбу ў самавыяўленні. У гэтым ім дапамагала мастацтва - яно давала «магчымасць вобразна, зразумела, жыва выказаць ідэі, намеры, імкнення». Творчасць дапамагала адораным людзям раскрыцца і праявіць свае таленты, у выніку чаго нараджаліся на свет цудоўныя творы мастацтва, пачынаючы ад прыгожай роспісу глінянага гаршка і канчаючы шэдэўрамі сусветнага маштабу. Задача мастацтва, складаецца ў тым, каб задавальняць духоўныя патрэбы людзей. Яно можа, «даставіць чалавеку радасць ..., прымусіць спачуваць, суперажываць і нават абудзіць у ім мастака». Я думаю, што роля мастацтва і творчага мыслення вельмі важная для фарміравання свядомасці кожнага чалавека. Пра тое, які ўплыў на людзей аказвае сапраўднае мастацтва, апавядае А.І. Купрын ў сваім творы «Гамбринус». Галоўны герой аповеду, габрэй Сашка, па вечарах гуляў на скрыпцы ў піўной «Гамбринус», куды збіраўся партовы люд, вельмі загрубелы і небяспечны, які звыкся да пастаяннага рызыкі і цяжкай жыцця ў трушчобах. Піўная знаходзілася ў самым цэнтры горада, але яны ўсё роўна ішлі туды, каб паслухаць, як гуляе Сашка. У сваю гульню ён укладваў ўсю душу, і таму так прыгожа гучала яго музыка, што яна магла закрануць за жывое нават самага агрубелая ад непасільнай працы чалавека. І нават калі ў горадзе пачаўся пагром, падчас якога адбываліся масавыя забойствы габрэяў, ніхто не крануў Сашку - такая вялікая была павага да яго таленту. Выбітны рускі паэт Васіль Жукоўскі, распавядаючы пра свае ўражанні ад карціны Рафаэля «Сіксцінская мадонна», казаў, што гадзіну, які ён правёў
Пусть мы красим в белый и черные цвета. Заметим, что в любой правильной раскраске должно быть поровну обоих цветов. Иначе в каком-нибудь квадрате 2x2 найдется три клетки одного цвета, что невозможно. Теперь будем по порядку рассматривать квадраты 2x2. Пусть изначально прямоугольника покрашен в шахматную расцветку. Для того, чтобы получать новую раскраску будем двигать черные (без ограничения общности - двигая черные мы, грубо говоря, двигаем и белые) клетки (в квадратах, двигаясь слева направо), причем так, чтобы не возникало уголков. Действительно, если они будут возникать, то их придется устранять и тем самым создавать их в квадратах, расположенных правее и в конце концов упремся. Таким образом, для первого квадрата существует три движения (включая тождественную перестановку). Для второго квадрата существует два варианта - если мы двигали черную клетку, стоящую в пересечении первого и второго квадратов, то движений 2, если нет - то три. Итак, можно построить дерево (см. рис.). При переходе по стрелке мы умножаем числа, стоящие в вершинах. В конце концов, числа до которых нельзя добраться, складываем. Итог - кол-во Докажем по индукции, что искомое количество равно
, где n - номер уровня (ступени).
База очевидна: при n=1 результат 3, что верно.
Переход: пусть для некоторого n=k верно. Докажем, что верно и для n=k+1. Рассмотрим k+1-ый уровень. Количество троек равно количеству двоек. Поэтому каждое слагаемое, входящее в сумму, которая равна
можно умножить сначала на тройки, а потом на двойки, что равнозначно 
, переход доказан.
Не забудем итоговый ответ также домножить на два, так как существует две различные шахматные расцветки прямоугольника.
Имеем
квадратов, а, стало быть, уровней. 
;
ответ:
Задача мастацтва, складаецца ў тым, каб задавальняць духоўныя патрэбы людзей. Яно можа, «даставіць чалавеку радасць ..., прымусіць спачуваць, суперажываць і нават абудзіць у ім мастака».
Я думаю, што роля мастацтва і творчага мыслення вельмі важная для фарміравання свядомасці кожнага чалавека.
Пра тое, які ўплыў на людзей аказвае сапраўднае мастацтва, апавядае А.І. Купрын ў сваім творы «Гамбринус». Галоўны герой аповеду, габрэй Сашка, па вечарах гуляў на скрыпцы ў піўной «Гамбринус», куды збіраўся партовы люд, вельмі загрубелы і небяспечны, які звыкся да пастаяннага рызыкі і цяжкай жыцця ў трушчобах. Піўная знаходзілася ў самым цэнтры горада, але яны ўсё роўна ішлі туды, каб паслухаць, як гуляе Сашка. У сваю гульню ён укладваў ўсю душу, і таму так прыгожа гучала яго музыка, што яна магла закрануць за жывое нават самага агрубелая ад непасільнай працы чалавека. І нават калі ў горадзе пачаўся пагром, падчас якога адбываліся масавыя забойствы габрэяў, ніхто не крануў Сашку - такая вялікая была павага да яго таленту.
Выбітны рускі паэт Васіль Жукоўскі, распавядаючы пра свае ўражанні ад карціны Рафаэля «Сіксцінская мадонна», казаў, што гадзіну, які ён правёў