Дан многочлен: х³ - 2х² - 11х + 12. Разложение через свободный член. Примем среди множителей свободного члена х = 1. 1-2-11+12 = 13-13 = 0. Значит, х = 1 это корень, при котором многочлен равен 0. Делим исходный многочлен на х - 1. х³ - 2х² - 11х + 12 | x -1
x² - x + 12 x³ - x²
-x² - 11x -x² - x
-12x + 12 -12x + 12
Получили разложение (х - 1)(x² - x + 12). Квадратный трёхчлен x² - x + 12 тоже можно разложить на множители, Приравниваем нулю: x² - x + 12 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=(-1)^2-4*1*(-12)=1-4*(-12)=1-(-4*12)=1-(-48)=1+48=49; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√49-(-1))/(2*1)=(7-(-1))/2=(7+1)/2=8/2=4;x_2=(-√49-(-1))/(2*1)=(-7-(-1))/2=(-7+1)/2=-6/2=-3.
В этом выражении двойка встречается четное число раз (8 раз), желательно добиться того, чтобы в ответе ее не было. Тройка встречается также четное число раз (4 раза), будем стараться и от нее избавиться. Ну и от пятерки, которая встречается два раза, также будем избавляться. Остается только семерка, встречающаяся один раз. От нее избавиться тем самым не удастся. Поэтому, если мы сумеем получить в ответе 7, это и будет наименьший целый ответ. В окончательном ответе (до сокращений) мы 10 будем иметь в числителе -это однозначно, как и 9 в знаменателе. Если бы 8 оказалась в числителе, был бы перебор двоек в числителе, поэтому 8 мы отправим в знаменатель. 7 однозначно в числителе, так как мы хотим получить целое число. 6 - в числителе и из-за перебора троек в знаменателе. 5 в противовес 10 в числителе отправим в знаменатель. 4 из-за 8 в знаменателе отправим в числитель. 3 в числителе, 2 в знаменателе, 1 - куда попадет, это не имеет значения. Таким образом, мы должны соорудить дробь
Разложение через свободный член.
Примем среди множителей свободного члена х = 1.
1-2-11+12 = 13-13 = 0.
Значит, х = 1 это корень, при котором многочлен равен 0.
Делим исходный многочлен на х - 1.
х³ - 2х² - 11х + 12 | x -1
x² - x + 12
x³ - x²
-x² - 11x
-x² - x
-12x + 12
-12x + 12
Получили разложение (х - 1)(x² - x + 12).
Квадратный трёхчлен x² - x + 12 тоже можно разложить на множители,
Приравниваем нулю: x² - x + 12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-12)=1-4*(-12)=1-(-4*12)=1-(-48)=1+48=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√49-(-1))/(2*1)=(7-(-1))/2=(7+1)/2=8/2=4;x_2=(-√49-(-1))/(2*1)=(-7-(-1))/2=(-7+1)/2=-6/2=-3.
ответ: х³ - 2х² - 11х + 12 = (х - 1)(х + 3)(х - 4).