Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен h.
Первый Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. С учётом условия (∠АСD = 90°) получаем, что АD - диаметр описанной окружности. AD = 2h.Если вписанный в окружность угол прямой, то он опирается на диаметр этой окружности.Продолжим высоту СН трапеции до пересечения с описанной окружностью в точке Е. Диаметр окружности является серединным перпендикуляром по отношению к хорде СЕ ⇒ СН = НЕ, AD⊥CE ⇒ ΔACE - равнобедренный, АС = АЕ, ∠CAD = ∠EAD = α, ∠САЕ = 2α. Или можно ссылаться на симметрию относительно AD.По теореме синусов: R = h = CE/2•sin2α = 2•CH/2•sin2α = CH/sin2α ⇒ CH = h•sin2αВторой В ΔACD: cosα = AC/AD ⇒ AC = AD•cosα = 2h•cosαВ ΔАСН: sinα = CH/AC ⇒ CH = AC•sinαЗначит, СН = (2h•cosα) •sinα = h•sin2αОТВЕТ: h•sin2α
:
42:6+(70-64)*5+52:26-70:5=7+6*5+2-14=7+30+2-14=25
70-(81-39):7+6*7-90:5+85:17=70-42:7+42-18+5=70-6+42-18+5=93
36:9*5+8*(34-27)-87:29-72:4=20+56-3-18=55
75:3*4+65+(70-25*2+40)*2=100+65+60*2=165+120=285
300+680:10*4+128+2*10*10=300+272+128+200=900
400+720:10:8+172-96:48-80:4=400+9+172-2-20=559
4*6+(50-46)*5+99:9-72:3=24+16*5+11-24=24+80+11-24=91
60-(91-49):6+8*5+600:20*4=60-42:6+40+120=60-7+160=213
32:8*7+9*(24-16)+420:6*5=28+9*8+14=28+72+14=114
(81:9+12*3):5+(3*4+51):3=(9+36):5+(12+51):3=45:5+63:3=9+21=30
(25*2+14):8-(24*2-10*2):4=(50+14):8-(48-20):4=64:8+28:4=8+7=15
(47-17):10+(15*3+9*5):9*4=30:10+(45+45):9*4=3+10*4=43
(900-250+140)-(400+900:3-200)-500=790-(400+300-200)-500=790-500-500=-210
Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен h.
=============================================================
Первый Около равнобедренной трапеции всегда можно описать окружность. С учётом условия (∠АСD = 90°) получаем, что АD - диаметр описанной окружности. AD = 2h.Если вписанный в окружность угол прямой, то он опирается на диаметр этой окружности.Продолжим высоту СН трапеции до пересечения с описанной окружностью в точке Е. Диаметр окружности является серединным перпендикуляром по отношению к хорде СЕ ⇒ СН = НЕ, AD⊥CE ⇒ ΔACE - равнобедренный, АС = АЕ, ∠CAD = ∠EAD = α, ∠САЕ = 2α. Или можно ссылаться на симметрию относительно AD.По теореме синусов: R = h = CE/2•sin2α = 2•CH/2•sin2α = CH/sin2α ⇒ CH = h•sin2αВторой В ΔACD: cosα = AC/AD ⇒ AC = AD•cosα = 2h•cosαВ ΔАСН: sinα = CH/AC ⇒ CH = AC•sinαЗначит, СН = (2h•cosα) •sinα = h•sin2αОТВЕТ: h•sin2α