Добрый день! Я буду рад помочь вам разобраться с этой задачей.
В данной задаче нам дан периметр прямоугольного треугольника, равный 56 см, и длина гипотенузы, равная 25 см. Наша задача - найти длину катетов этого треугольника.
Для начала, давайте вспомним основную формулу для нахождения периметра прямоугольного треугольника: П = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника (стороны a и b являются катетами, а c - гипотенузой).
Зная периметр и длину гипотенузы, мы можем составить уравнение:
56 = a + b + 25.
Теперь нам нужно учесть, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это известно как теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.
В нашем случае, где гипотенуза равна 25 см, мы можем записать:
a^2 + b^2 = 25^2.
Теперь нам необходимо решить эти два уравнения, чтобы найти значения катетов. Начнем с первого уравнения:
56 = a + b + 25.
Выразим один из катетов через другой и подставим во второе уравнение:
a = 56 - b - 25.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
(56 - b - 25)^2 + b^2 = 25^2.
Мы используем квадрат вместо квадрата суммы, чтобы избавиться от квадратных корней.
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта, который можно найти по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -62 и c = 336.
В данной задаче нам дан периметр прямоугольного треугольника, равный 56 см, и длина гипотенузы, равная 25 см. Наша задача - найти длину катетов этого треугольника.
Для начала, давайте вспомним основную формулу для нахождения периметра прямоугольного треугольника: П = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника (стороны a и b являются катетами, а c - гипотенузой).
Зная периметр и длину гипотенузы, мы можем составить уравнение:
56 = a + b + 25.
Теперь нам нужно учесть, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это известно как теорема Пифагора: a^2 + b^2 = c^2.
В нашем случае, где гипотенуза равна 25 см, мы можем записать:
a^2 + b^2 = 25^2.
Теперь нам необходимо решить эти два уравнения, чтобы найти значения катетов. Начнем с первого уравнения:
56 = a + b + 25.
Выразим один из катетов через другой и подставим во второе уравнение:
a = 56 - b - 25.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
(56 - b - 25)^2 + b^2 = 25^2.
Мы используем квадрат вместо квадрата суммы, чтобы избавиться от квадратных корней.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
(31 - b)^2 + b^2 = 625,
961 - 62b + b^2 + b^2 = 625,
2b^2 - 62b + 961 - 625 = 0,
2b^2 - 62b + 336 = 0.
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта, который можно найти по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -62 и c = 336.
Вычислим дискриминант:
D = (-62)^2 - 4(2)(336) = 3844 - 2688 = 1156.
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня.
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
b = (-b +- sqrt(D)) / (2a).
Давайте подставим значения:
b = (-(-62) +- sqrt(1156)) / (2(2)).
Теперь решим это уравнение:
b1 = (62 + sqrt(1156)) / 4,
b2 = (62 - sqrt(1156)) / 4.
Вычисляем значения:
b1 = (62 + 34) / 4 = 96 / 4 = 24,
b2 = (62 - 34) / 4 = 28 / 4 = 7.
Таким образом, мы получили два значения для катетов нашего треугольника: а = 24 см и b = 7 см.
Ответ: длины катетов прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см.