1. Дано:
Периметр прямоугольного треугольника равен 84, а сумма квадратов сторон треугольника равна 2450.
2. Обозначим стороны треугольника:
Пусть a, b и c - стороны треугольника, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
3. Периметр треугольника:
Периметр равен сумме длин всех сторон треугольника: P = a + b + c = 84
4. Сумма квадратов сторон треугольника:
Сумма квадратов сторон равна квадрату каждого стороны, сложенному с квадратом каждого другого стороны: a^2 + b^2 + c^2 = 2450
5. По теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a^2 + b^2 = c^2
6. Заметим, что периметр равен сумме длин катетов и гипотенузы:
a + b + c = 84
=> c = 84 - a - b
7. Подставим выражение для c из 6-го шага в 5-й шаг:
a^2 + b^2 + (84 - a - b)^2 = 2450
8. Раскроем скобки:
a^2 + b^2 + (7056 - 168a - 168b + a^2 + ab + ab + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b)) = 2450
9. Упростим выражение:
a^2 + b^2 + 7056 - 168a - 168b + a^2 + 2ab + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) = 2450
10. Приведем подобные слагаемые:
a^2 + b^2 + a^2 + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) - 168a - 168b + 2ab + 7056 = 2450
11. Упростим выражение:
2a^2 + 2b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) - 168a - 168b + 2ab + 4606 = 0
12. Перенесем все слагаемые влево и упорядочим их:
2a^2 + 2b^2 - 2(84 - a - b)a - 2(84 - a - b)b - 168a - 168b + 2ab - 4606 = 0
Пошаговое объяснение:
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
1. Дано:
Периметр прямоугольного треугольника равен 84, а сумма квадратов сторон треугольника равна 2450.
2. Обозначим стороны треугольника:
Пусть a, b и c - стороны треугольника, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.
3. Периметр треугольника:
Периметр равен сумме длин всех сторон треугольника: P = a + b + c = 84
4. Сумма квадратов сторон треугольника:
Сумма квадратов сторон равна квадрату каждого стороны, сложенному с квадратом каждого другого стороны: a^2 + b^2 + c^2 = 2450
5. По теореме Пифагора:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a^2 + b^2 = c^2
6. Заметим, что периметр равен сумме длин катетов и гипотенузы:
a + b + c = 84
=> c = 84 - a - b
7. Подставим выражение для c из 6-го шага в 5-й шаг:
a^2 + b^2 + (84 - a - b)^2 = 2450
8. Раскроем скобки:
a^2 + b^2 + (7056 - 168a - 168b + a^2 + ab + ab + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b)) = 2450
9. Упростим выражение:
a^2 + b^2 + 7056 - 168a - 168b + a^2 + 2ab + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) = 2450
10. Приведем подобные слагаемые:
a^2 + b^2 + a^2 + b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) - 168a - 168b + 2ab + 7056 = 2450
11. Упростим выражение:
2a^2 + 2b^2 - 2a(84 - a - b) - 2b(84 - a - b) - 168a - 168b + 2ab + 4606 = 0
12. Перенесем все слагаемые влево и упорядочим их:
2a^2 + 2b^2 - 2(84 - a - b)a - 2(84 - a - b)b - 168a - 168b + 2ab - 4606 = 0
13. Упростим выражение:
2a^2 + 2b^2 - 2(84a - a^2 - ab - 84b + ab + b^2) - 168a - 168b + 2ab - 4606 = 0
14. Уберем скобки и сложим подобные слагаемые:
2a^2 + 2b^2 - 168a + 2a^2 - 2ab - 336b - 168b + 2b^2 + 2ab - 4606 = 0
15. Упростим выражение:
4a^2 + 4b^2 - 504a - 504b - 4606 = 0
16. Разделим все слагаемые на 4:
a^2 + b^2 - 126a - 126b - 1151 = 0
17. Перепишем выражение в виде суммы квадратов:
(a^2 - 126a + 3969) + (b^2 - 126b + 3969) - 9089 = 0
18. Приведем к полному квадрату:
(a - 63)^2 + (b - 63)^2 - 9089 = 0
19. Перепишем в виде суммы квадратов:
(a - 63)^2 + (b - 63)^2 = 9089
20. По теореме Пифагора из шага 5 мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2. Подставим это в уравнение из шага 19:
c^2 + 9089 = 9089
21. Упростим выражение:
c^2 = 0
22. Из выражения 21 следует, что гипотенуза треугольника равна нулю. Это невозможно, поэтому полученное уравнение не имеет решения.
Ответ:
Поскольку полученное уравнение не имеет решений, мы не можем найти стороны треугольника и, следовательно, его площадь.