Пусть мы красим в белый и черные цвета. Заметим, что в любой правильной раскраске должно быть поровну обоих цветов. Иначе в каком-нибудь квадрате 2x2 найдется три клетки одного цвета, что невозможно. Теперь будем по порядку рассматривать квадраты 2x2. Пусть изначально прямоугольника покрашен в шахматную расцветку. Для того, чтобы получать новую раскраску будем двигать черные (без ограничения общности - двигая черные мы, грубо говоря, двигаем и белые) клетки (в квадратах, двигаясь слева направо), причем так, чтобы не возникало уголков. Действительно, если они будут возникать, то их придется устранять и тем самым создавать их в квадратах, расположенных правее и в конце концов упремся. Таким образом, для первого квадрата существует три движения (включая тождественную перестановку). Для второго квадрата существует два варианта - если мы двигали черную клетку, стоящую в пересечении первого и второго квадратов, то движений 2, если нет - то три. Итак, можно построить дерево (см. рис.). При переходе по стрелке мы умножаем числа, стоящие в вершинах. В конце концов, числа до которых нельзя добраться, складываем. Итог - кол-во Докажем по индукции, что искомое количество равно , где n - номер уровня (ступени).
База очевидна: при n=1 результат 3, что верно.
Переход: пусть для некоторого n=k верно. Докажем, что верно и для n=k+1. Рассмотрим k+1-ый уровень. Количество троек равно количеству двоек. Поэтому каждое слагаемое, входящее в сумму, которая равна можно умножить сначала на тройки, а потом на двойки, что равнозначно , переход доказан.
Не забудем итоговый ответ также домножить на два, так как существует две различные шахматные расцветки прямоугольника.
Пусть Николай совершил x обменов первого типа и y обменов второго типа.
Изменение количества золотых монет: на операциях первого типа он потерял 3x монет, на операциях второго типа – приобрёл 4y монет. По условию количество золотых монет не изменилось, значит, 3x = 4y.
Изменение количества медных монет: на каждой операции он получал по монетке, и всего у него стало 35 медных монеток, значит, x + y = 35.
Выражаем из второго уравнения y = 35 - x, подставляем в первое уравнение и решаем:
3x = 4(35 - x)
3x = 140 - 4x
7x = 140
x = 20
y = 35 - x = 15
Итак, Николай совершил 20 обменов первого типа и 15 обменов второго типа. Количество серебряных монет изменилось на 20 * 4 - 15 * 6 = -10.
Пусть мы красим в белый и черные цвета. Заметим, что в любой правильной раскраске должно быть поровну обоих цветов. Иначе в каком-нибудь квадрате 2x2 найдется три клетки одного цвета, что невозможно. Теперь будем по порядку рассматривать квадраты 2x2. Пусть изначально прямоугольника покрашен в шахматную расцветку. Для того, чтобы получать новую раскраску будем двигать черные (без ограничения общности - двигая черные мы, грубо говоря, двигаем и белые) клетки (в квадратах, двигаясь слева направо), причем так, чтобы не возникало уголков. Действительно, если они будут возникать, то их придется устранять и тем самым создавать их в квадратах, расположенных правее и в конце концов упремся. Таким образом, для первого квадрата существует три движения (включая тождественную перестановку). Для второго квадрата существует два варианта - если мы двигали черную клетку, стоящую в пересечении первого и второго квадратов, то движений 2, если нет - то три. Итак, можно построить дерево (см. рис.). При переходе по стрелке мы умножаем числа, стоящие в вершинах. В конце концов, числа до которых нельзя добраться, складываем. Итог - кол-во Докажем по индукции, что искомое количество равно
, где n - номер уровня (ступени).
База очевидна: при n=1 результат 3, что верно.
Переход: пусть для некоторого n=k верно. Докажем, что верно и для n=k+1. Рассмотрим k+1-ый уровень. Количество троек равно количеству двоек. Поэтому каждое слагаемое, входящее в сумму, которая равна
можно умножить сначала на тройки, а потом на двойки, что равнозначно 
, переход доказан.
Не забудем итоговый ответ также домножить на два, так как существует две различные шахматные расцветки прямоугольника.
Имеем
квадратов, а, стало быть, уровней. 
;
ответ:
Пусть Николай совершил x обменов первого типа и y обменов второго типа.
Изменение количества золотых монет: на операциях первого типа он потерял 3x монет, на операциях второго типа – приобрёл 4y монет. По условию количество золотых монет не изменилось, значит, 3x = 4y.
Изменение количества медных монет: на каждой операции он получал по монетке, и всего у него стало 35 медных монеток, значит, x + y = 35.
Выражаем из второго уравнения y = 35 - x, подставляем в первое уравнение и решаем:
3x = 4(35 - x)
3x = 140 - 4x
7x = 140
x = 20
y = 35 - x = 15
Итак, Николай совершил 20 обменов первого типа и 15 обменов второго типа. Количество серебряных монет изменилось на 20 * 4 - 15 * 6 = -10.
ответ: на 10 монет.