Петя играет в компьютерную игру. Он начинает с нуля очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать 100000 очков. После первой минуты игры добавляется 1 очко, после второй — 2 очка, после третьей — 4 очка и так далее: каждую минуту добавляется в двое больше очков, чем в предыдущий раз. Через сколько минут после начала игры Петя перейдёт на следующий уровень?
Пусть
а1 = 1 - количество очков, набранных за первую минуту игры,
а2 = 2 - количество очков, набранных за вторую минуту,
а3 = 4 - количество очков, набранных за третью минуту,
an - количество очков, набранных за последнюю минуту.
Количество очков постоянно удваивается, значит дело мы имеем с геометрической прогрессией со знаменателем q = 2.
Каждую минуту очки суммируются, т.е. актуальна будет формула суммы первых n членов прогрессии. Формула выглядит так:

К тому же, эта сумма должна быть не меньше 100000
У нас есть информация, что Пете нужно набрать 100000 очков для перехода на следующий уровень. Мы знаем, что в первую минуту Петя получает 1 очко, во вторую - 2 очка, в третью - 4 очка и так далее, с каждой минутой прибавляется в двое больше очков, чем в предыдущую минуту.
Чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться математической операцией суммы арифметической прогрессии. Здесь каждый следующий элемент прогрессии увеличивается вдвое по сравнению с предыдущим элементом.
Для того чтобы определить, через сколько минут после начала игры Петя перейдет на следующий уровень, можем использовать сложение:
1 + 2 + 4 + 8 + ...
Однако, у нас нет конечного количества элементов, чтобы их просуммировать.
Мы можем заметить, что каждый элемент в последовательности является степенью числа 2 (2 в степени 0, 2 в степени 1, 2 в степени 2 и так далее). Таким образом, мы можем переписать последовательность в виде:
2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ...
Теперь у нас есть геометрическая прогрессия, для которой существует формула для суммирования:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r),
где a - первый элемент прогрессии (в нашем случае 2^0 = 1), r - знаменатель прогрессии (в нашем случае 2) и n - количество элементов прогрессии, которые мы хотим сложить (в данном случае бесконечность).
Так как мы хотим узнать, при каком n сумма элементов будет равна 100000, мы можем переписать формулу:
100000 = 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2).
Теперь необходимо решить уравнение для n. Произведем несколько шагов расчета:
100000 = (1 - 2^n) / (-1)
-100000 = 2^n - 1
2^n = 1 - 100000
2^n = -99999
После сокращенияных операций можно заметить, что 2 в какой-либо степени будет положительным числом, но -99999 - это отрицательное число.
Таким образом, получается, что для данного уровня Петя не сможет набрать достаточное количество очков, чтобы перейти на следующий уровень.
Я надеюсь, что мой ответ был понятен, если у тебя остались какие-то вопросы, пожалуйста, спрашивай.