Площадь, ограниченная кривой y = 3 + под корнем (x), осью Ox и прямыми x = 1 и х = 4, преобразуется в радианы 2 рі осью Ox. Найдите объем получившегося тела
Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь, ограниченную кривой y = 3 + под корнем (x), осью Ox и прямыми x = 1 и х = 4. Затем, мы найдем объем тела, полученного путем вращения этой площади вокруг оси Ox на угол 2π радиан.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой y = 3 + под корнем (x) с прямыми x = 1 и х = 4:
Для этого, приравняем выражение под корнем (x) к нулю и решим уравнение:
3 + под корнем (x) = 0
под корнем (x) = -3
x = (-3)^2
x = 9
Таким образом, кривая y = 3 + под корнем (x) пересекает ось Ox в точке (9, 0).
Шаг 2: Найдем точку пересечения кривой y = 3 + под корнем (x) с осью Ox:
Подставим y = 0 в уравнение кривой и решим уравнение:
0 = 3 + под корнем (x)
Под корнем (x) = -3
Здесь мы имеем отрицательное значение под корнем, поэтому нет решений для этого уравнения в действительных числах.
Таким образом, кривая y = 3 + под корнем (x) не пересекает ось Ox в действительных числах.
Шаг 3: Найдем площадь ограниченной фигуры:
Для нахождения площади, найдем определенный интеграл от функции y = 3 + под корнем (x) на интервале x = 1 до x = 4:
∫[1, 4] (3 + под корнем (x)) dx
Для нахождения интеграла, возьмем первообразную функции y = 3 + под корнем (x):
F(x) = 3x + (2/3)(x^(3/2))
Получаем, что площадь ограниченной фигуры равна 29/3.
Шаг 4: Найдем объем тела, полученного при вращении этой площади вокруг оси Ox на угол 2π радиан:
Для нахождения объема, используем формулу объема вращения (известную как формула Шеллинга):
V = ∫[1, 4] (2π * y * x) dx
В нашем случае, y = 3 + под корнем (x).
Подставляем это значение в формулу и вычисляем интеграл:
V = ∫[1, 4] (2π * (3 + под корнем (x)) * x) dx
Для нахождения интеграла, возьмем первообразную функции 2π * (3 + под корнем (x)) * x:
F(x) = π * (x^2 + 2x^(5/2)/5 + 3x)
Таким образом, объем тела, полученного путем вращения площади ограниченной кривой y = 3 + под корнем (x), осью Ox и прямыми x = 1 и х = 4 на угол 2π радиан, равен 33π единицам объема.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривой y = 3 + под корнем (x) с прямыми x = 1 и х = 4:
Для этого, приравняем выражение под корнем (x) к нулю и решим уравнение:
3 + под корнем (x) = 0
под корнем (x) = -3
x = (-3)^2
x = 9
Таким образом, кривая y = 3 + под корнем (x) пересекает ось Ox в точке (9, 0).
Шаг 2: Найдем точку пересечения кривой y = 3 + под корнем (x) с осью Ox:
Подставим y = 0 в уравнение кривой и решим уравнение:
0 = 3 + под корнем (x)
Под корнем (x) = -3
Здесь мы имеем отрицательное значение под корнем, поэтому нет решений для этого уравнения в действительных числах.
Таким образом, кривая y = 3 + под корнем (x) не пересекает ось Ox в действительных числах.
Шаг 3: Найдем площадь ограниченной фигуры:
Для нахождения площади, найдем определенный интеграл от функции y = 3 + под корнем (x) на интервале x = 1 до x = 4:
∫[1, 4] (3 + под корнем (x)) dx
Для нахождения интеграла, возьмем первообразную функции y = 3 + под корнем (x):
F(x) = 3x + (2/3)(x^(3/2))
Теперь, вычислим разность между значениями первообразной в точках 1 и 4:
F(4) - F(1) = (3*4 + (2/3)(4^(3/2))) - (3*1 + (2/3)(1^(3/2)))
= 12 + (8/3) - 3 - (2/3)
= 9 + (2/3) = 27/3 + 2/3 = 29/3
Получаем, что площадь ограниченной фигуры равна 29/3.
Шаг 4: Найдем объем тела, полученного при вращении этой площади вокруг оси Ox на угол 2π радиан:
Для нахождения объема, используем формулу объема вращения (известную как формула Шеллинга):
V = ∫[1, 4] (2π * y * x) dx
В нашем случае, y = 3 + под корнем (x).
Подставляем это значение в формулу и вычисляем интеграл:
V = ∫[1, 4] (2π * (3 + под корнем (x)) * x) dx
Для нахождения интеграла, возьмем первообразную функции 2π * (3 + под корнем (x)) * x:
F(x) = π * (x^2 + 2x^(5/2)/5 + 3x)
Теперь, вычислим разность между значениями первообразной в точках 1 и 4:
F(4) - F(1) = π * ((4^2 + 2*4^(5/2)/5 + 3*4) - (1^2 + 2*1^(5/2)/5 + 3*1))
= π * (16 + 32/5 + 12 - 1 - 2/5 - 3)
= π * (27 + 30/5)
= π * (27 + 6)
= π * 33
Таким образом, объем тела, полученного путем вращения площади ограниченной кривой y = 3 + под корнем (x), осью Ox и прямыми x = 1 и х = 4 на угол 2π радиан, равен 33π единицам объема.