Плоскость a проходит через точки А (-1; 10; -3), B (1; 1; -5) и С (5; 4; -2), плоскость b проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними. заранее
1. Найдем направляющий вектор плоскости a, который будет равен векторному произведению векторов AB и AC:
AB = B - A = (1, 1, -5) - (-1, 10, -3) = (2, -9, -2)
AC = C - A = (5, 4, -2) - (-1, 10, -3) = (6, -6, 1)
AB x AC = (2, -9, -2) x (6, -6, 1) = (-15, -10, -42)
2. Правильное уравнение плоскости a имеет вид:
-15(x + 1) - 10(y - 10) - 42(z + 3) = 0
-15x - 15 + 10y - 100 - 42z - 126 = 0
-15x + 10y - 42z - 241 = 0
3. Таким же образом находим направляющий вектор плоскости b, который будет равен разности векторов OM и OA:
OM = M - O = (2, -3, -9) - (0, 0, 0) = (2, -3, -9)
ОА = A - O = (-1, 10, -3) - (0, 0, 0) = (-1, 10, -3)
OM - OA = (2, -3, -9) - (-1, 10, -3) = (3, -13, -6)
4. Правильное уравнение плоскости b имеет вид:
3(x - 0) - 13(y - 0) - 6(z - 0) = 0
3x - 13y - 6z = 0
5. Чтобы показать, что плоскости параллельны, необходимо убедиться, что векторы нормалей плоскостей a и b коллинеарны. Для этого можно сравнить коэффициенты при переменных в уравнениях:
-15/a = 3/b = -15/3 = -5
10/a = -13/b = 10/-13 = -10/13
-42/a = -6/b = -42/-6 = 7
Таким образом, векторы нормалей (-15, 10, -42) и (3, -13, -6) коллинеарны, что означает параллельность плоскостей a и b.
6. Для нахождения расстояния между плоскостями, можно воспользоваться формулой расстояния от точки до плоскости. Для этого выберем точку на одной из плоскостей, например, точку А(-1; 10; -3), и подставим ее координаты в уравнение плоскости b:
3(-1) - 13(10) - 6(-3) = -3 - 130 + 18 = -115
Расстояние между плоскостями будет равно модулю найденного значения -115:
| -115 | = 115
Таким образом, плоскости a и b параллельны, и расстояние между ними равно 115.