По кругу лежит 101 монета, каждая весит 10 г или 11 г. Докажите, что найдётся монета, для которой суммарная масса k монет слева от неё равна суммарной массе k монет справа от неё, если a) k=50; ( )

б) k=49. ( )

На середине отрезке ав возьмём точку о и проведём окружность радиусом ао=ов. тогда наша окружность пройдёт через точки м и n, т.к. по условию  углы ∠amb = ∠anb = 90°.лучи bm и bn делят угол abc на три равные части меньше 45°. отсюда, равны углы ∠abn = ∠mbc, т.к. содержат в себе по две равные доли угла авс.углы ∠ban и ∠bmn опираются на одну и ту же дугу ∪bn, следовательно, эти углы равны: ∠ban = ∠bmn. значит, треугольники δban и δbmk подобны по двум углам, и угол ∠bkm = 90°, как ∠anb.найдём мк по теореме пифагора:  рассмотрим треугольник δmbk. биссектриса треугольника bn делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:с другой стороны, ранее мы нашли, что  составляем систему уравнений и решаем:по теореме пифагора находим bn:

√3 ·tg²x - 3tgx = 0 выносим за скобку тангенс tgx(√3 ·tgx - 3) = 0 приравниваем нулю каждый множитель 1) tgx = 0 тангенс равен нулю, если угол х = нулю. значения тангенса повторяются через каждые π, поэтому х1 = 0 + πk, где k - любое целое число или ноль. записывается это так: х1= πk      k∈z 2) (√3 ·tgx - 3) = 0 √3tgx = 3 tgx = 3/√3 tgx = √3 тангенс равен √3, если угол равен 60° или π/3 ну и значения повторяются через каждые π х2 = π/3 + πk    k∈z ответ: х1= πk      k∈z                       х2 = π/3 + πk    k∈z