Побудуй прямокутник abcd зі сторонами завдовжки 25 мм
і 45 мм. знайди його периметр. зафарбуй червоним олів-
цем половину прямокутника abcd. виміряй довжини сторін
зафарбованої фігури та знайди її периметр. чи можна
стверджувати, що периметр зафарбованої фігури дорів-
нює половині периметра прямокутника abcd?

Даны координаты вершин треугольника  ABC :

A (-3; 10), B (9; 1), С (7;15). Найти:

1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты (к).

Вектор АВ = (9-(-3); 1-10) = (12; -9), к = -9/12 = -3/4.

Вектор АС = (7-(-3); 15-10) = (10; 5), к = 5/10 = 1/2.

Уравнения сторон:

АВ: (x + 3)/12 = (y -10)/(-9) это канонический вид.

АВ: у = (-3/4)х + в, подставим координаты точки А: 10 = (-3/4)*(-3) + в, отсюда в = 10 - (9/4) = 31/4. Имеем уравнение с угловым коэффициентом. АВ: у = (-3/4)х + (31/4).

АС: (x + 3)/10 = (y -10)/5.

у = (1/2)х + в, 10 = (1/2)*(-3) + в, в = 10 + (3/2) = 23/2.

АС: у = (1/2)х + (23/2).

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой.

Вектор АВ = (12; -9), модуль равен √(144 + 81) = √225 = 15.

Вектор АС = (10; 5),модуль равен √(100 + 25) = √125 = 5√5.

cos A = (12*10+(-9)*5)/(15*5√5) = 1/√5 ≈ 0,447213595  

A = 1,10715 радиан  или 63,43495 градусов .

3) уравнение высоты CD и ее длину;

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-3/4) = 4/3.

СД: у = (4/3х + в, т.С: 15 = (4/3)*7 + в, в = 15 - 28/3 = 17/3.

СД: у = (4/3)х + (17/3).

Находим площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 75 .

h(CD) = 2S/|AB| = 2*75/15 = 10.

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

АE :          Х-Ха      =     У-Уа      

        Ха1-Ха                Уа1-Уа      

у = -0,181818182 х + 9,454545455           АE : -2 Х + -11 У + 104 = 0 .

АE : у = -0,181818182 х + 9,454545455

СD: у = 1,333333333 х + 5,666666667

Точка пе  Х = 2,5,  

ресечения  У = 9.  

Дано уравнение y = x³ - (13/2)x² + 4x - 5.

1. Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = (x^3-(13/2)x^2+4x-5)' = 3x² -13x+4 = 0.

Решаем это уравнение 3x^2-13x+4=0 и его корни будут экстремумами:  

Ищем дискриминант: D=13^2-4*3*4 = 169 - 48 = 121;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x1=(13 - √121)/(2*3 )= (13-11)/(6) = 1/3;

x2=(13 + √121)/(2*3)=(13+11)/(6)=24/6 = 4.

х1 = 1/3,  х2  = 4.

Результат: y’=0. Точки: ((1/3); -4,351852) и (4; -29).

2. Интервалы возрастания и убывания функции:  

Имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; (1/3)), ((1/3); 4) и (4; ∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = 0     0,3333         1           4              5

y' = 4     0             -6          0          14.

Минимум функции в точке: х = 4,

Максимум функции в точке: х = 1/3.

Возрастает на промежутках: (-∞; (1/3)) и (4; ∞).

Убывает на промежутке: ((1/3); 4).

Так как минимум и максимум функции только локальные, то область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.