Последовательность строится по следующему закону. на первом месте стоит число 4, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. какое число стоит на 1000 месте?

В городе всего 13 городов⇒от каждого города может выходить от 0 до 12 дорог. Заметим, что если от какого-то города выходит 12 дорог, то ни от одного другого не может выходить 0 дорог, т.к. у него уже есть минимум одна дорога. Также и наоборот, если есть город, у которого 0 дорог, то не может существовать города, у которого было бы 12 дорог. Поэтому в каждой комбинации дорог с городами мы имеем 13 городов, от каждого из которых могут выходить дороги лишь Либо от 0 до 11, либо от 1 до 12).
Кол-во выхода дорог меньше, чем количество городов(12<13), поэтому обязательно найдутся два города, из которых выходит поровну дорог, ч.т.д.  
((Данный вывод очевиден благодаря Принципу Дирихле: Если в N клетках сидит N+1 кроликов, то обязательно найдётся клетка, которой сидит два кролика. В нашем случае N=12(кол-во а N+1=13(кол-во городов). Если ты хочешь узнать больше про Принцип Дирихле, то можешь обратиться к сторонней литературе. Есть даже отдельные книги, посвящённые данному принципу.))

1.
y=sin(x*пи/3)        Вот такие точки (первое число x,  второе - y) 
(0;0)  (0,5;0,5)  (1,5;1)  (3;0)    (4,5; -1)  (6;0) и влево от оси y симметрично относительно начала координат

y = 3sinx. Берешь график y=sin x и вытягиваешь его вверх
(0;0)   (пи/2; 3)   (пи; 0) (3 пи/2; -3)   (2 пи;0)

y = sin 3x  график sin x  сжимается в 3 раза вдоль оси Ox
(0,0) (пи/3;1)     (пи/6; 0)    (пи/2; -1)   (2пи/3; 0)

2. у=cos x -  в книжке
y= cos x-1   как cos x , только опустить на 1  (не (0;1) , а (0;0)
не (пи/2;0), а (пи/2;-1) и. т.п.
y =cosx/2     значения y графика y=cos x уменьшить вдвое - вместо (0;1) - (0;0,5)  вместо (пи; -1)  - (пи; -0,5)

y= -cos x -график y=cosx отложить симметрично оси x
 вместо (0;1) - (0; -1)   вместо (пи;-1) - (пи;1)