В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
GelyaKazarik
GelyaKazarik
20.11.2021 08:50 •  Математика

Построить график функции и записать ее свойства:
y=3x^5-5x^3

Показать ответ
Ответ:
fatimatagiyeva
fatimatagiyeva
13.10.2020 21:33

Задана функция f(x) = 3x^{5} - 5x^{3}

1) Найдем область определения функции:

D(f) = (-\infty; \ +\infty), то есть x \in \mathbb{R}

2) Исследуем функцию на четность:

f(-x) = 3(-x)^{5} - 5(-x)^{3} = -3x^{5} + 5x^{3} = -(3x^{5} - 5x^{3}) = -f(x)

Функция нечетная, непериодическая.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

Если x = 0, то y = 0, значит (0; \ 0) — точка пересечения с осью Oy.

Если y = 0, то есть 3x^{5} - 5x^{3} = 0, то:

x^{3}(3x^{2} - 5) = 0

\left[\begin{array}{ccc}x^{3} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \\3x^{2} - 5 = 0\\\end{array}\right

\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \\ x = \pm \dfrac{\sqrt{15}}{3} \\\end{array}\right

Значит (0; \ 0), \left(-\dfrac{\sqrt{15}}{3}; \ 0 \right) и \left(\dfrac{\sqrt{15}}{3}; \ 0 \right) — точки пересечения с осью Ox.

4) Асимптот данная функция не имеет, поскольку она непрерывная на всей области определения.

5) Найдем производную и критические (стационарные) точки функции:

f'(x) = (3x^{5} - 5x^{3})'= 15x^{4} - 15x^{2}

Из уравнения 15x^{4} - 15x^{2} = 0 имеем критические точки:

x_{1} = -1; \ x_{2} = 0; \ x_{3} = 1

6) Найдем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции, заполнив таблицу (см. вложение).

7) Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба с второй производной:

f''(x) = (15x^{4} - 15x^{2})' = 60x^{3} - 30x

Если на промежутке (a; \ b) дифференцируемая функция f(x) имеет положительную вторую производную, то есть f''(x) 0 для всех x \in (a; \ b), то график этой функции на (a; \ b) является выпуклым вниз; если на промежутке (a; \ b) дифференцируемая функция f(x) имеет отрицательную вторую производную, то есть f''(x) < 0 для всех x \in (a; \ b), то график этой функции на (a; \ b) является выпуклым вверх.

Решим уравнение: f''(x) = 0

60x^{3} - 30x = 0

30x(2x^{2} - 1) = 0

Имеем корни: x_{1} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ x_{2} = 0; \ x_{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице (см. вложение)

8) Изобразим график заданной функции (см. вложение).

9) Из графика можем найти область значений функции:

E(f) = (-\infty; \ +\infty), то есть y \in \mathbb{R}


Построить график функции и записать ее свойства: y=3x^5-5x^3
Построить график функции и записать ее свойства: y=3x^5-5x^3
Построить график функции и записать ее свойства: y=3x^5-5x^3
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота