Есть натуральное число N. Чтобы получить наибольший делитель, нужно число N разделить на наименьший делитель: 1, 2, 3, 4, 5,.... Так как N/1 = N исключено в условии, то наибольшими делителями в лучшем случае будут N/2, N/3, N/4. Сумма удовлетворяет условию Если один из наименьших делителей 2,3,4 заменить следующим (5), то сумма перестанет удовлетворять условию Любое следующее увеличение наименьшего делителя ведет к уменьшению суммы наибольших делителей, которая будет меньше числа N, что не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, число N будет меньше суммы его наибольших делителей только в том случае, если эти делители N/2, N/3, N/4, т.е. число N обязательно делится на 4, обязательно делится на 6. Наименьшее такое число N=12 не делится на 5 и на 7 12 < 13 = 6 + 4 + 3
Предлагаю, как мне кажется, очень удобный он же пригодится для вычисления суммы ряда любой арифметической прогрессии.
Выпишем последовательность чисел, которую нам надо просуммировать, а ниже нее - ту же самую последовательность, но в обратном подярке:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97+98+99+100 = Сумм - то, что нам нужно найти
100+99+98+97+...+ 4 + 3 + 2 + 1 = Сумм - это ведь та же самая последовательность, только записана в обратном порядке
Обратите внимание на попарные числа сверху и снизу - сложим эти две последовательности, причем не сначала одну, а потом вторую, а первое слагаемое первой+первое слагаемое второй (верхнее+нижнее) дальше второе слагаемое первой + второе у второй и так далее:
Количество эти х скобок - равно количеству чисел в изначальной последовательности (в нашем случае 100). Но самое главное - все суммы внутри скобок равны между собой - и в нашем случае они равны 101.
т.е. мы получили сумму ста чисел, равных 101 = 100*101 - и эта сумма равна двум суммам нашей стартовой последовательности - ведь мы просто сложили их между собой, т.е.
100*101=Сумм*2
Сумм=100*101/2, и искомый ответ в задаче 5050
Если вы уже проходили сумму ряда - по увидите, что эта формула как раз и выходит на традиционную: Сумм = N(N+1)/2
Но тут эти последовательности очень наглядно располагаются одна под другой и без всяких формул сразу можно начать складывать между собой члены ряда.
Чтобы получить наибольший делитель, нужно число N разделить на наименьший делитель: 1, 2, 3, 4, 5,....
Так как N/1 = N исключено в условии, то наибольшими делителями в лучшем случае будут N/2, N/3, N/4. Сумма удовлетворяет условию
Если один из наименьших делителей 2,3,4 заменить следующим (5), то сумма перестанет удовлетворять условию
Любое следующее увеличение наименьшего делителя ведет к уменьшению суммы наибольших делителей, которая будет меньше числа N, что не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, число N будет меньше суммы его наибольших делителей только в том случае, если эти делители N/2, N/3, N/4, т.е. число N обязательно делится на 4, обязательно делится на 6.
Наименьшее такое число N=12 не делится на 5 и на 7
12 < 13 = 6 + 4 + 3
ответ: а) N делится на 4; г) N делится на 6
Предлагаю, как мне кажется, очень удобный он же пригодится для вычисления суммы ряда любой арифметической прогрессии.
Выпишем последовательность чисел, которую нам надо просуммировать, а ниже нее - ту же самую последовательность, но в обратном подярке:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97+98+99+100 = Сумм - то, что нам нужно найти
100+99+98+97+...+ 4 + 3 + 2 + 1 = Сумм - это ведь та же самая последовательность, только записана в обратном порядке
Обратите внимание на попарные числа сверху и снизу - сложим эти две последовательности, причем не сначала одну, а потом вторую, а первое слагаемое первой+первое слагаемое второй (верхнее+нижнее) дальше второе слагаемое первой + второе у второй и так далее:
(1+100) + (2+99) + (3*98) + (4+97) + ... + (97+4) + (98+3) + (99+2) + (100+1) = Сумм + Сумм
Количество эти х скобок - равно количеству чисел в изначальной последовательности (в нашем случае 100). Но самое главное - все суммы внутри скобок равны между собой - и в нашем случае они равны 101.
т.е. мы получили сумму ста чисел, равных 101 = 100*101 - и эта сумма равна двум суммам нашей стартовой последовательности - ведь мы просто сложили их между собой, т.е.
100*101=Сумм*2
Сумм=100*101/2, и искомый ответ в задаче 5050
Если вы уже проходили сумму ряда - по увидите, что эта формула как раз и выходит на традиционную: Сумм = N(N+1)/2
Но тут эти последовательности очень наглядно располагаются одна под другой и без всяких формул сразу можно начать складывать между собой члены ряда.