1.Чтобы доказать первое утверждение составим числовое выражение согласно условиям утверждения: В этом выражении деление на повторяется, поэтому вынесем это действие за скобку. Получим такое числовое выражение: И решим его: В ответе у нас получилось целое число. Значит можно считать утверждение "если каждое из двух чисел делится на , то и их сумма делится на .
2.Для доказательства второго утверждения составим числовое выражение соответствующее условиям утверждения: Вынесем общий делитель за скобку: Решим получившееся выражение: Так как число в ответе целое можно считать утверждение "если одно из двух чисел делится на ,то их произведение делится на " доказанным.
Тема урока: решение логических задач с кругов Эйлера
Тип урока: решение задач
Продолжительность: 45 минут
Цели урока: Развивать информационную и учебно-познавательную компетентности учащихся по теме «решение логических задач с кругов Эйлера».
Образовательные:
Закрепить практические навыки использования решения логических задач с кругов Эйлера
Развивающие развитию логического мышления, памяти, внимания.
Научить правильно рассуждать, уметь давать ответы на поставленные во Воспитательные воспитанию аккуратности, терпению культурному и интеллектуальному развитию учеников.
Ученики: Некоторое множество, удовлетворяющее определенному за Учитель: Что называют множеством? (есть ли точное определение?)
Ученики: конечная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по общему для них признаку.
Учитель: Операция И соответствует пересечению множеств
Операция ИЛИ соответствует объединению множеств
Давайте вспомним как обозначаются операции на кругах Эйлера. Нарисуйте на доске обозначение пересечения, объединения, отрицание и следствие
hello_html_m46dc14c6.gif
Пример:
В таблице приведены за и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим за в некотором сегменте Интернета:
За Количество страниц (тыс.)
пирожное & выпечка
3200
пирожное
8700
выпечка
7500
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по за пирожное | выпечка
Решение (вариант 1, решение системы уравнений):
эта задача – упрощенная версия предыдущей, поскольку здесь используются только две области (вместо трёх): «пирожное» (обозначим ее через П) и «выпечка» (В)
нарисуем эти области виде диаграммы (кругов Эйлера); при их пересечении образовались три подобласти, обозначенные числами 1, 2 и 3;
количество сайтов, удовлетворяющих за в области i, будем обозначать через Ni
составляем уравнения, которые определяют за заданные в условии:
пирожное & выпечка N2 = 3200
пирожное N1 + N2 = 8700
выпечка N2 + N3 = 7500
подставляя значение N2 из первого уравнения в остальные, получаем
N1 = 8700 - N2 = 8700 – 3200 = 5500
N3 = 7500 - N2 = 7500 – 3200 = 4300
количество сайтов по за пирожное | выпечка равно
N1 + N2 + N3 = 5500 + 3200 + 4300 = 13000
таким образом, ответ – 13000.
Пример 2:
В таблице приведены за и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим за в некотором сегменте Интернета:
За Количество страниц (тыс.)
1
мезозой
50
2
кроманьонец
60
3
неандерталец
70
4
мезозой | кроманьонец
80
5
мезозой | неандерталец
100
6
неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
20
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по за кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
Решение (круги Эйлера):
обозначим области «мезозой», «кроманьонец» и «неандерталец» буквами М, К и Н; пронумеруем подобласти, получившиеся в результате пересечений кругов (см. рисунок справа)
через Ni обозначим количество сайтов в области с номером i
нас интересует результат за кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
то есть N2 + N5 + N6 (зеленая область на рисунке)
из первых двух за следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50 (мезозой)
N2 + N3 + N5 + N6 = 60 (кроманьонец)
складывая левые и правые части уравнений, получаем
В этом выражении деление на
И решим его:
2.Для доказательства второго утверждения составим числовое выражение соответствующее условиям утверждения:
Вынесем общий делитель за скобку:
Решим получившееся выражение:
Так как число в ответе целое можно считать утверждение "если одно из двух чисел делится на
Пошаговое объяснение:
Учебный предмет: информатика
Учебный класс: 10
Тема урока: решение логических задач с кругов Эйлера
Тип урока: решение задач
Продолжительность: 45 минут
Цели урока: Развивать информационную и учебно-познавательную компетентности учащихся по теме «решение логических задач с кругов Эйлера».
Образовательные:
Закрепить практические навыки использования решения логических задач с кругов Эйлера
Развивающие развитию логического мышления, памяти, внимания.
Научить правильно рассуждать, уметь давать ответы на поставленные во Воспитательные воспитанию аккуратности, терпению культурному и интеллектуальному развитию учеников.
Оборудование: проектор, учебные материалы, методические разработки.
Ход урока:
1. Организационный момент – 2 мин.
2. Повторение – 7 мин.
3. Практическое решение задач – 33 мин.
4. Итог урока – 1 мин.
5. Домашнее задание – 2 мин.
Учитель: Что мы обозначаем Кругами Эйлера?
Ученики: Некоторое множество, удовлетворяющее определенному за Учитель: Что называют множеством? (есть ли точное определение?)
Ученики: конечная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по общему для них признаку.
Учитель: Операция И соответствует пересечению множеств
Операция ИЛИ соответствует объединению множеств
Давайте вспомним как обозначаются операции на кругах Эйлера. Нарисуйте на доске обозначение пересечения, объединения, отрицание и следствие
hello_html_m46dc14c6.gif
Пример:
В таблице приведены за и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим за в некотором сегменте Интернета:
За Количество страниц (тыс.)
пирожное & выпечка
3200
пирожное
8700
выпечка
7500
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по за пирожное | выпечка
Решение (вариант 1, решение системы уравнений):
эта задача – упрощенная версия предыдущей, поскольку здесь используются только две области (вместо трёх): «пирожное» (обозначим ее через П) и «выпечка» (В)
нарисуем эти области виде диаграммы (кругов Эйлера); при их пересечении образовались три подобласти, обозначенные числами 1, 2 и 3;
количество сайтов, удовлетворяющих за в области i, будем обозначать через Ni
составляем уравнения, которые определяют за заданные в условии:
пирожное & выпечка N2 = 3200
пирожное N1 + N2 = 8700
выпечка N2 + N3 = 7500
подставляя значение N2 из первого уравнения в остальные, получаем
N1 = 8700 - N2 = 8700 – 3200 = 5500
N3 = 7500 - N2 = 7500 – 3200 = 4300
количество сайтов по за пирожное | выпечка равно
N1 + N2 + N3 = 5500 + 3200 + 4300 = 13000
таким образом, ответ – 13000.
Пример 2:
В таблице приведены за и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим за в некотором сегменте Интернета:
За Количество страниц (тыс.)
1
мезозой
50
2
кроманьонец
60
3
неандерталец
70
4
мезозой | кроманьонец
80
5
мезозой | неандерталец
100
6
неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
20
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по за кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
Решение (круги Эйлера):
обозначим области «мезозой», «кроманьонец» и «неандерталец» буквами М, К и Н; пронумеруем подобласти, получившиеся в результате пересечений кругов (см. рисунок справа)
через Ni обозначим количество сайтов в области с номером i
нас интересует результат за кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
то есть N2 + N5 + N6 (зеленая область на рисунке)
из первых двух за следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50 (мезозой)
N2 + N3 + N5 + N6 = 60 (кроманьонец)
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(1) N1 + 2·N2 + N3 + N4 + 2·N5 + N6 = 110
в то же время из за получаем
(2) N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 80 (мезозой | кроманьонец)
вычитая из уравнения (1) уравнение (2), отдельно левые и правые части, получаем
N2 + N5 = 30 (мезозой & кроманьонец)
вспомним, что наша цель – определить N2 + N5 + N6, поэтому остается найти N6
из за и 3 следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50 (мезозой)
N4 + N5 + N6 + N7 = 70 (неандерталец)
складывая левые и правые части уравнений, получаем
(3) N1 + N2 + 2·N4 + 2·N5 + N6 + N7 = 120
в то же время из за получаем
(4) N1 + N2 + N4 + N5 + N6 + N7 = 100 (мезозой | неандерталец)
вычитая из уравнения (3) уравнение (4), отдельно левые и правые части, получаем
(5) N4 + N5 = 20 (мезозой & неандерталец)
теперь проанализируем за неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
(6) N4 + N5 + N6 = 20
вычитая из уравнения (6) уравнение (5) получаем N6 = 0, поэтому
N2 + N5 + N6 = N2 + N5 = 30
таким образом, ответ – 30.