В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
alkofner
alkofner
14.12.2021 18:11 •  Математика

Правильная шестиугольная пирамида. угол между боковой гранью и основанием - 30 градусов. площадь боковой поверхности - 300. найти объём пирамиды.

Показать ответ
Ответ:
MashaJummy
MashaJummy
07.10.2020 12:54

Пошаговое объяснение:

V=\frac{1}{3} So.*h(где V-объём правильной шестиугольной пирамиды, So.- площадь основания пирамиды, h- высота пирамиды).

"Как видите, ни один из элементов формулы нам пока не известен. Нужно выразить их из данных условия, т.е. через площадь боковой поверхности пирамиды."

Sb.=\frac{1}{2} P*a (где Sb.- площадь боковой поверхности шестиугольной правильной пирамиды, P- периметр основания, a- апофема пирамиды.)

Так как основанием пирамиды является правильный шестиугольник, то

Sb.=3b*a (где b-длина стороны основания)

Учитывая, что угол между боковой гранью и основанием равен 30°, то апофема и высота пирамиды относятся, как, соответственно, гипотенуза и меньший катет в прямоугольном треугольнике, т.е.

h=\frac{1}{2} a; (из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и проекцией апофемы на основание h=a*sin(30°))

Найдём отношение площади боковой поверхности Sb. и площади основания Sо. Каждая из поверхностей раскладывается на 6 равных треугольников.  

Площадь бокового треугольника равна

\frac{1}{2}b*a

Площадь треугольника основания равна

\frac{1}{2} b*\frac{\sqrt{3} }{2}a =\frac{\sqrt{3} }{4} ab (т.к. высота в таком треугольнике есть проекцией апофемы на основание и равна

a*cos(30°)=\frac{\sqrt{3}} {2} a).

Значит отношение площади боковой поверхности и площади основания равно:

\frac{Sb}{So} =\frac{2}{\sqrt{3} }

Тогда площадь основания So можно выразить через площадь боковой поверхности как:

So=\frac{\sqrt{3} }{2} Sb

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нужно выразить апофему  а через площадь боковой поверхности Sb.

Основание - правильный шестиугольник, состоит из 6 правильных треугольников с внутренними углами по 60°. Высоту такого треугольника мы уже находили \frac{\sqrt{3}} {2} a. Такая высота (являясь также биссектрисой) делит правильный треугольник на 2 прямоугольных с прилежащим к ней углом 30° (60°/2=30°).

Тогда сторона b правильного треугольника равна

b=\frac{\frac{\sqrt{3} }{2} a}{cos (30)} =a

b=a.

Подставив полученные выражения в формулу боковой поверхности, получим:

Sb.=3b*a=3a^{2}

a=\sqrt{\frac{Sb}{3} }

а так, как мы вывели, что h=\frac{1}{2} a, то

h=\frac{1}{2} *\sqrt{\frac{Sb}{3} }

Теперь все неизвестные выражены через площадь боковой поверхности и мы можем вычислить объём пирамиды:

V=\frac{1}{3} So.*h

V=\frac{1}{3} *\frac{\sqrt{3} }{2} Sb*\frac{1}{2} \sqrt{\frac{Sb}{3} }

V=\frac{Sb*\sqrt{Sb} }{12}

V=\frac{300*\sqrt{300} }{12} =\frac{3000*\sqrt{3} }{12} =250\sqrt{3}

*в решении задачи многократно применялась теорема Пифагора. Чтобы сократить текст решения, я это опустил.


Правильная шестиугольная пирамида. угол между боковой гранью и основанием - 30 градусов. площадь бок
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота