Плоскость АВС || плоскости A₁B₁C₁
Поэтому удобнее искать угол между ВМС₁ и A₁B₁C₁
Надо найти линию пересечения этих плоскостей.
Одна общая точка - точка С₁.
Прямые А₁В₁ и ВМ лежат в пл. АА₁В₁В
Найдем их точку пересечения. Это точка К
Значит пл. ВМС₁ и пл. A₁B₁C₁ пересекаются по прямой С₁К
Осталось провести к этой прямой перпендикуляры. B₁F в пл. A₁B₁C₁
BF в пл. ВМС₁
tg∠B₁FB=BB₁/B₁F
Из подобия А₁КМ и В₁КВ
KA₁:KB₁=A₁M:B₁B
KA₁=4/3
Из треугольника КВ₁С₁ по теореме косинусов
KC₁²=((4/3)+4)^2+4^2-2·(4/3)+4)·4cos∠A₁B₁C₁=(16/3)^2+16-2·(16/3)·4·
1/2=(256/9)+(144/9)-(64/3)=(400-64*3)/9=208/9
KC₁=4√(13)/3
tg∠B₁FB=BB₁/B₁F=8:(4(13)/3)=(6√13)/13
О т в е т. ∠B₁FB= arctg(6√13)/13
Плоскость АВС || плоскости A₁B₁C₁
Поэтому удобнее искать угол между ВМС₁ и A₁B₁C₁
Надо найти линию пересечения этих плоскостей.
Одна общая точка - точка С₁.
Прямые А₁В₁ и ВМ лежат в пл. АА₁В₁В
Найдем их точку пересечения. Это точка К
Значит пл. ВМС₁ и пл. A₁B₁C₁ пересекаются по прямой С₁К
Осталось провести к этой прямой перпендикуляры. B₁F в пл. A₁B₁C₁
BF в пл. ВМС₁
tg∠B₁FB=BB₁/B₁F
Из подобия А₁КМ и В₁КВ
KA₁:KB₁=A₁M:B₁B
KA₁=4/3
Из треугольника КВ₁С₁ по теореме косинусов
KC₁²=((4/3)+4)^2+4^2-2·(4/3)+4)·4cos∠A₁B₁C₁=(16/3)^2+16-2·(16/3)·4·
1/2=(256/9)+(144/9)-(64/3)=(400-64*3)/9=208/9
KC₁=4√(13)/3
tg∠B₁FB=BB₁/B₁F=8:(4(13)/3)=(6√13)/13
О т в е т. ∠B₁FB= arctg(6√13)/13