Правильный тетраэдр dabc размещён в прямоугольной системе координат так , что центр грани abc совпадает с началом координат , а вершина d имеет координаты (0; 0; 2корень 6) . найдите координаты вершин а, в и с, если вершина а лежит на оси абсцисс.
У правильного тетраэдра DABC все грани и, следовательно, все рёбра равны. Примем ребро равным а, центр основания - точка О (точка пересечения высот). Проведём осевое сечение через ребро АД. Имеем равнобедренный треугольник АДЕ, у которого АЕ = ДЕ = а*cos 30 = a√3/2. Проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3. По Пифагору высота ДО = √(а² - (а√3/3)²) = √(а² - (а²/3)) = а√(2/3). Приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3), Возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. Отсюда а = √36 = 6. Отрезок АО = (2/3)АЕ = (2/3)*( a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3. ОЕ = (1/2)АО = √3. Получаем координаты вершин: А(2√3; 0; 0), В(-√3; -3; 0), С(-√3; 3; 0).
Проведём осевое сечение через ребро АД.
Имеем равнобедренный треугольник АДЕ, у которого АЕ = ДЕ = а*cos 30 = a√3/2.
Проекция ребра на основание равна (2/3) от высоты треугольника в основании пирамиды, то есть (2/3)*а√3/2 = а√3/3.
По Пифагору высота ДО = √(а² - (а√3/3)²) = √(а² - (а²/3)) = а√(2/3).
Приравняем заданному значению: 2√6 = а√(2/3),
Возведём в квадрат: 24 = а²(2/3) или а² = 36. Отсюда а = √36 = 6.
Отрезок АО = (2/3)АЕ = (2/3)*( a√3/2) = (2/3)*(6√3/2) = 2√3.
ОЕ = (1/2)АО = √3.
Получаем координаты вершин:
А(2√3; 0; 0),
В(-√3; -3; 0),
С(-√3; 3; 0).