Предполагаем, что вес яиц - нормально распределенная случайная величина X, Математическим ожиданием а и средним квадратическим
отклонением Q. В заготовку принимаются яйца от XI до X2 граммов веса. Определить:
С
а) вероятность того, что наудачу взятое яйцо пойдет в заготовку:
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-d окажется меньше S;
в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы
предполагаемого веса яйца.
d=58, Q=7, X1=50 X2=65, S=9
Сначала рассмотрим вариант "а) вероятность того, что наудачу взятое яйцо пойдет в заготовку".
Для определения вероятности, что наудачу взятое яйцо попадет в заданный интервал (в нашем случае веса от XI до X2), мы будем использовать функцию плотности вероятности нормального распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид:
f(x) = (1 / (Q * √(2π))) * e^(-(x-a)^2 / (2Q^2))
где a - математическое ожидание (среднее значение), Q - среднеквадратическое отклонение, и e - основание натурального логарифма (примерно 2.71828).
Для нахождения вероятности попадания веса яйца в заданный интервал, необходимо вычислить определенный интеграл функции плотности вероятности на этом интервале:
P(X1 ≤ X ≤ X2) = ∫(X1, X2) f(x) dx
Вычисления данного интеграла могут быть достаточно сложными. Однако, в данном случае у нас есть значения a, Q, X1 и X2, что позволяет нам упростить вычисления.
Допустим, что a = 58 и Q = 7, тогда функция плотности вероятности будет иметь вид:
f(x) = (1 / (7 * √(2π))) * e^(-(x-58)^2 / (2*7^2))
Теперь мы можем вычислить вероятность, что наудачу взятое яйцо попадет в заданный интервал:
P(X1 ≤ X ≤ X2) = ∫(X1, X2) f(x) dx
Полученное значение интеграла будет вероятностью попадания яйца в заготовку.
Теперь перейдем к варианту "б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-d окажется меньше S".
Для этого нам нужно найти вероятность P(|X - d| < S). В данном случае |X - d| представляет собой абсолютное значение разности случайной величины X и величины d (в нашем случае d = 58), а S - заданное значение.
Чтобы решить данную задачу, мы сначала найдем разность между X и d, затем возьмем абсолютное значение этой разности, и в конце используем функцию плотности вероятности нормального распределения для вычисления вероятности попадания в интервал (-S, S).
f(x) = (1 / (Q * √(2π))) * e^(-((x - d)^2) / (2Q^2))
Теперь вычислим интеграл:
P(|X - d| < S) = ∫(-S, S) f(x) dx
Это значение будет вероятностью того, что абсолютная величина отклонения X-d окажется меньше заданной величины S.
И, наконец, перейдем к варианту "в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого веса яйца".
Правило трех сигм указывает, что в нормальном распределении около 99.7% случайных значений лежит в пределах трех среднеквадратических отклонений от среднего значения.
Таким образом, чтобы найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого веса яйца, мы можем использовать следующие формулы:
Наибольшая граница (Xmax) = a + 3Q
Наименьшая граница (Xmin) = a - 3Q
В нашем случае, a = 58 и Q = 7, поэтому:
Xmax = 58 + 3 * 7
Xmin = 58 - 3 * 7
Таким образом, наибольшая граница предполагаемого веса яйца составляет Xmax граммов, а наименьшая граница - Xmin граммов.
Это подробное и обстоятельное решение вашего вопроса. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.