Добрый день! Для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной форме мы будет использовать модуль и аргумент комплексного числа.
а) Представим комплексное число z = 8 - 8√3i в тригонометрической форме:
1. Сначала найдем модуль комплексного числа по формуле:
|z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть числа, Im(z) - мнимая часть числа.
В нашем случае, Re(z) = 8 и Im(z) = -8√3.
|z| = sqrt(8^2 + (-8√3)^2) = sqrt(64 + 192) = sqrt(256) = 16.
Модуль комплексного числа равен 16.
2. Теперь найдем аргумент комплексного числа по формуле:
Arg(z) = arctan(Im(z) / Re(z)).
В нашем случае, Arg(z) = arctan((-8√3) / 8) = arctan(-√3) = -π / 3.
Аргумент комплексного числа равен -π / 3.
Таким образом, комплексное число z = 8 - 8√3i в тригонометрической форме имеет вид |z| * (cos(Arg(z)) + i * sin(Arg(z)) = 16 * (cos(-π / 3) + i * sin(-π / 3)).
б) Представим комплексные числа z1 = 3i и z2 = 7 + i в показательной форме:
1. Для числа z1 = 3i найдем модуль и аргумент.
Модуль |z1| = |3i| = 3 по определению модуля комплексного числа.
Аргумент Arg(z1) - это угол, на который нужно повернуть положительное вещественное полуоси "x" против часовой стрелки, чтобы попасть на точку комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу. В нашем случае, это точка (0, 3).
Так как z1 находится на мнимой оси, его аргумент Arg(z1) = π / 2.
Таким образом, комплексное число z1 = 3i в показательной форме имеет вид |z1| * exp(i * Arg(z1)) = 3 * exp(i * (π / 2)).
2. Для числа z2 = 7 + i найдем модуль и аргумент.
Модуль |z2| = sqrt(7^2 + 1^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5 * sqrt(2).
Аргумент Arg(z2) - это угол, на который нужно повернуть положительное вещественное полуоси "x" против часовой стрелки, чтобы попасть на точку комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу. В нашем случае, это точка (7, 1).
Arg(z2) = arctan(1 / 7).
Таким образом, комплексное число z2 = 7 + i в показательной форме имеет вид |z2| * exp(i * Arg(z2)) = 5 * sqrt(2) * exp(i * arctan(1 / 7)).
Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам лучше понять представление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать, и я с радостью вам помогу!
а) Представим комплексное число z = 8 - 8√3i в тригонометрической форме:
1. Сначала найдем модуль комплексного числа по формуле:
|z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - действительная часть числа, Im(z) - мнимая часть числа.
В нашем случае, Re(z) = 8 и Im(z) = -8√3.
|z| = sqrt(8^2 + (-8√3)^2) = sqrt(64 + 192) = sqrt(256) = 16.
Модуль комплексного числа равен 16.
2. Теперь найдем аргумент комплексного числа по формуле:
Arg(z) = arctan(Im(z) / Re(z)).
В нашем случае, Arg(z) = arctan((-8√3) / 8) = arctan(-√3) = -π / 3.
Аргумент комплексного числа равен -π / 3.
Таким образом, комплексное число z = 8 - 8√3i в тригонометрической форме имеет вид |z| * (cos(Arg(z)) + i * sin(Arg(z)) = 16 * (cos(-π / 3) + i * sin(-π / 3)).
б) Представим комплексные числа z1 = 3i и z2 = 7 + i в показательной форме:
1. Для числа z1 = 3i найдем модуль и аргумент.
Модуль |z1| = |3i| = 3 по определению модуля комплексного числа.
Аргумент Arg(z1) - это угол, на который нужно повернуть положительное вещественное полуоси "x" против часовой стрелки, чтобы попасть на точку комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу. В нашем случае, это точка (0, 3).
Так как z1 находится на мнимой оси, его аргумент Arg(z1) = π / 2.
Таким образом, комплексное число z1 = 3i в показательной форме имеет вид |z1| * exp(i * Arg(z1)) = 3 * exp(i * (π / 2)).
2. Для числа z2 = 7 + i найдем модуль и аргумент.
Модуль |z2| = sqrt(7^2 + 1^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) = 5 * sqrt(2).
Аргумент Arg(z2) - это угол, на который нужно повернуть положительное вещественное полуоси "x" против часовой стрелки, чтобы попасть на точку комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу. В нашем случае, это точка (7, 1).
Arg(z2) = arctan(1 / 7).
Таким образом, комплексное число z2 = 7 + i в показательной форме имеет вид |z2| * exp(i * Arg(z2)) = 5 * sqrt(2) * exp(i * arctan(1 / 7)).
Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам лучше понять представление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать, и я с радостью вам помогу!