Точный куб - это третья степень натурального числа.
Разложим факториалы на множители, выделим n!
(n+1)! = n!*(n+1); (n+2)! = n!*(n+1)(n+2)
Подставляем в уравнение.
n!*(n+1)!*(n+2)! = a^3
n!*n!*(n+1)*n!*(n+1)(n+2) = a^3
(n!)^3*(n+1)^2*(n+2) = a^3
(n+1)^2*(n+2) = a^3 / (n!)^3 = (a/n!)^3
Мы получили, что произведение (n+1)^2*(n+2) является кубом натурального числа a/n!.
Но числа (n+1) и (n+2) - взаимно простые, то есть не имеют общих делителей. Поэтому они оба должны быть точными кубами, чтобы произведение (n+1)^2*(n+2) было кубом.
Ни при каких
Пошаговое объяснение:
Точный куб - это третья степень натурального числа.
Разложим факториалы на множители, выделим n!
(n+1)! = n!*(n+1); (n+2)! = n!*(n+1)(n+2)
Подставляем в уравнение.
n!*(n+1)!*(n+2)! = a^3
n!*n!*(n+1)*n!*(n+1)(n+2) = a^3
(n!)^3*(n+1)^2*(n+2) = a^3
(n+1)^2*(n+2) = a^3 / (n!)^3 = (a/n!)^3
Мы получили, что произведение (n+1)^2*(n+2) является кубом натурального числа a/n!.
Но числа (n+1) и (n+2) - взаимно простые, то есть не имеют общих делителей. Поэтому они оба должны быть точными кубами, чтобы произведение (n+1)^2*(n+2) было кубом.
Но таких натуральных чисел нет.