1. Щоб розв'язати нерівність 2x² + 2x - 15 < 0, спочатку знайдемо корені відповідного квадратного рівняння 2x² + 2x - 15 = 0. Можна використати формулу дискримінанта для знаходження коренів:
Дискримінант (D) = b² - 4ac, де a, b, c - коефіцієнти квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.
У нашому випадку:
a = 2, b = 2, c = -15.
D = (2)² - 4 * 2 * (-15) = 4 + 120 = 124.
Дискримінант D = 124.
Далі, знаходимо корені рівняння:
x₁ = (-b - √D) / (2a)
x₁ = (-2 - √124) / (2 * 2)
x₁ = (-2 - 2√31) / 4
x₁ = -1/2 - √31/2
x₂ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-2 + √124) / (2 * 2)
x₂ = (-2 + 2√31) / 4
x₂ = -1/2 + √31/2
Таким чином, ми знайшли корені рівняння: x₁ = -1/2 - √31/2 та x₂ = -1/2 + √31/2.
Для визначення інтервалів, на яких нерівність виконується, можна скористатися методом виведення знаків або використати тестування проміжків.
2. Щоб розв'язати нерівність (2x-2)² ⩾ (3x-2)(x-3), розкриємо квадрат зліва:
4x² - 8x + 4 ⩾ (3x-2)(x-3)
Розкриємо дужки:
4x² - 8x + 4 ⩾ 3x² - 11x + 6
Перенесемо все в одну частину:
4x² - 8x + 4 - 3x² + 11x - 6 ⩾ 0
Скоротимо подібні члени:
x² + 3x - 2 ⩾ 0
Тепер можемо вирішити цю квадратну нерівність. Знайдемо корені відповідного квадратного рівняння x² + 3x - 2 = 0:
x₁ = (-b - √D) / (2a)
x₁ = (-3 - √(3² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)
x₁ = (-3 - √(9 + 8)) / 2
x₁ = (-3 - √17) / 2
x₂ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-3 + √(3² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)
x₂ = (-3 + √(9 + 8)) / 2
x₂ = (-3 + √17) / 2
Таким чином, ми знайшли корені рівняння: x₁ = (-3 - √17) / 2 та x₂ = (-3 + √17) / 2.
Тепер можемо визначити інтервали, на яких нерівність виконується. Для цього можна скористатися методом виведення знаків або використати тестування проміжків.
Відповідь:
1. Щоб розв'язати нерівність 2x² + 2x - 15 < 0, спочатку знайдемо корені відповідного квадратного рівняння 2x² + 2x - 15 = 0. Можна використати формулу дискримінанта для знаходження коренів:
Дискримінант (D) = b² - 4ac, де a, b, c - коефіцієнти квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.
У нашому випадку:
a = 2, b = 2, c = -15.
D = (2)² - 4 * 2 * (-15) = 4 + 120 = 124.
Дискримінант D = 124.
Далі, знаходимо корені рівняння:
x₁ = (-b - √D) / (2a)
x₁ = (-2 - √124) / (2 * 2)
x₁ = (-2 - 2√31) / 4
x₁ = -1/2 - √31/2
x₂ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-2 + √124) / (2 * 2)
x₂ = (-2 + 2√31) / 4
x₂ = -1/2 + √31/2
Таким чином, ми знайшли корені рівняння: x₁ = -1/2 - √31/2 та x₂ = -1/2 + √31/2.
Для визначення інтервалів, на яких нерівність виконується, можна скористатися методом виведення знаків або використати тестування проміжків.
2. Щоб розв'язати нерівність (2x-2)² ⩾ (3x-2)(x-3), розкриємо квадрат зліва:
4x² - 8x + 4 ⩾ (3x-2)(x-3)
Розкриємо дужки:
4x² - 8x + 4 ⩾ 3x² - 11x + 6
Перенесемо все в одну частину:
4x² - 8x + 4 - 3x² + 11x - 6 ⩾ 0
Скоротимо подібні члени:
x² + 3x - 2 ⩾ 0
Тепер можемо вирішити цю квадратну нерівність. Знайдемо корені відповідного квадратного рівняння x² + 3x - 2 = 0:
x₁ = (-b - √D) / (2a)
x₁ = (-3 - √(3² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)
x₁ = (-3 - √(9 + 8)) / 2
x₁ = (-3 - √17) / 2
x₂ = (-b + √D) / (2a)
x₂ = (-3 + √(3² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)
x₂ = (-3 + √(9 + 8)) / 2
x₂ = (-3 + √17) / 2
Таким чином, ми знайшли корені рівняння: x₁ = (-3 - √17) / 2 та x₂ = (-3 + √17) / 2.
Тепер можемо визначити інтервали, на яких нерівність виконується. Для цього можна скористатися методом виведення знаків або використати тестування проміжків.