С онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с матрицы Гессе.
Математика онлайн
Математический анализ
Решение онлайн
Видеоинструкция
y =
x^2-8*x+1
?
Решить Действия
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)
Найти вторую производную f’’(x).
Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.
ПРИМЕР 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.
f(2) = 6*22 – 23 = 16
ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).
ПРИМЕР 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1
ПРИМЕР 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4
1. 1) 80 - 75 = 5 км/ч - скорость с которой первый поезд опережает второй. 2) 15 : 5 = 3 часа - через столько часов расстояние между поездами будет 15 км. ответ: 3 часа.
2. 1) 60 - 20 = 40 км/ч - скорость второго. 2) 60 + 40 = 100 км/ч - скорость сближения автобусов. 3) 400 : 100 = 4 часа - через столько часов автобусы встретятся. 4) 60 • 4 = 240 км проедет до места встречи первый автобус. 5) 40 • 4 = 160 км проедет до места встречи второй автобус, ответ: 4 часа; 240 км;проедет первый; 160 км проедет второй.
3. Наверное, опечатка: перепутали автомобилиста с мотоциклистом… 1) 280 : 5 = 56 км/ч - скорость мотоциклиста. 2) 24 : 2 = 12 км/с - скорость велосипедиста. 3) 56 - 12 = 44 км/ч / скорость, с которой мотоциклист опережает велосипедиста. 4) 132 : 44 = 3 часа - через стол ко часов расстояние между ними будет 132 км. ответ: 3 часа.
Пошаговое объяснение:
нтервалы выпуклости и вогнутости графика функции
С онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с матрицы Гессе.
Математика онлайн
Математический анализ
Решение онлайн
Видеоинструкция
y =
x^2-8*x+1
?
Решить Действия
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)
Найти вторую производную f’’(x).
Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
Вычислить значения функции в точках перегиба.
ПРИМЕР 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.
f(2) = 6*22 – 23 = 16
ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).
ПРИМЕР 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1
ПРИМЕР 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4
1) 80 - 75 = 5 км/ч - скорость с которой первый поезд опережает второй.
2) 15 : 5 = 3 часа - через столько часов расстояние между поездами будет 15 км.
ответ: 3 часа.
2.
1) 60 - 20 = 40 км/ч - скорость второго.
2) 60 + 40 = 100 км/ч - скорость сближения автобусов.
3) 400 : 100 = 4 часа - через столько часов автобусы встретятся.
4) 60 • 4 = 240 км проедет до места встречи первый автобус.
5) 40 • 4 = 160 км проедет до места встречи второй автобус,
ответ: 4 часа; 240 км;проедет первый; 160 км проедет второй.
3.
Наверное, опечатка: перепутали автомобилиста с мотоциклистом…
1) 280 : 5 = 56 км/ч - скорость мотоциклиста.
2) 24 : 2 = 12 км/с - скорость велосипедиста.
3) 56 - 12 = 44 км/ч / скорость, с которой мотоциклист опережает велосипедиста.
4) 132 : 44 = 3 часа - через стол ко часов расстояние между ними будет 132 км.
ответ: 3 часа.