Problem 13. Define a relation R on the set of all integers Z by XRy if and only if x + y = 2k for some integer k. Is R an equivalence relation on Z?
Why or why not?

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78
78:2=39
Делим так, чтобы в обеих частях сумма чисел была 39. Для этого линия раздела должна проходить между 3 и 4, а также между 9 и 10. В одной половине 10+11+12+1+2+3=39 и в другой 4+5+6+7+8+9=39
Разложим 78 на простые множители:
78 | 2
39 | 3
13 | 13
  1
Так как на циферблате всего 12 чисел, получаем, что его ещё можно разделить на 3 и на 6 частей, чтобы суммы чисел в частях были равны:
78:3=26 (11+12+1+2=26, 9+10+3+4=26, 5+6+7+8=26)
78:6=13 (12+1=13, 11+2=13,10+3=13, 9+4=13, 8+5=13, 7+6=13)

Влияние человека на гидросферу, литосферу, атмосферу и биосферу, т. е живую оболочку Земли, в настоящее время огромно. Главным образом, ущерб окружающей среде наносит хозяйственная деятельность человека. 
Гидросфера: огромную отрицательную роль играет антропогенное загрязнение вод суши. Главными источниками загрязнения являются промышленность, транспорт, сельское хозяйство, коммунальное хозяйство. В загрязнении вод наиболее велика доля промышленности, в особенности предприятий черной и цветной металлургии, энергетики, нефтепереработки и нефтехимии, деревообрабатывающей и целлюлозно-бумажной промышленности. Сельское хозяйство, являясь крупным источником загрязнения, сбрасывает во внутренние водоемы химические удобрения, ядохимикаты, отходы животноводческих ферм. Водный транспорт сбрасывает в реки и озера большое количество отходов и нефтепродуктов. Загрязнение делят на физическое, химическое и биологическое. К физическому загрязнению относят загрязнение твердыми отходами – мусором, потерями леса при молевом сплаве. Такое загрязнение не создает опасности для живых организмов, но затрудняет работу транспорта, рыболовства и ухудшает качество ландшафта. Химическое загрязнение вызывает попадание в водоемы кислот, щелочей, тяжелых металлов, удобрений, пестицидов, фенолов, нефти и нефтепродуктов. Биологическое загрязнение – это загрязнение микроорганизмами, многие из которых являются болезнетворными. Загрязнение происходит при попадании в воду стоков химической, пищевой, целлюлозно-бумажной промышленностей, а также стоков коммунального хозяйства городов. Во многих районах загрязнение превышает возможности самоочищения водоемов. В сточные канавы превратились реки Темза, Рейн, Миссисипи, Огайо и многие реки России и стран СНГ. Для водоемов необходимы меры очистки – механической, биологической и физико-химической. В будущем необходимо основное внимание уделить мерам по предупреждению загрязнения вод. Для этого используются новые методы: оборотные системы водоснабжения, малоотходные и безотходные технологии. В России только 2/3 стоков подвергаются очистке. Наиболее загрязнен бассейн реки Волги. Источниками загрязнения вод Мирового океана являются: нефть и нефтепродукты, тяжелые металлы, пестициды, радиоактивные вещества, а также огромное количество твердых и жидких коммунально-бытовых отходов. 70% загрязнений связано с наземными источниками: большие города, промышленность, сельское хозяйство, транспорт. Наиболее опасно нефтяное загрязнение. В результате утечки нефти при ее добыче, транспортировке и переработке в Мировой океан ежегодно попадает от 3 до 10 млн т нефти и нефтепродуктов. Космические снимки показывают, что уже около 1/3 всей его поверхности покрыто маслянистой пленкой, которая снижает испарение, угнетает развитие планктона, ограничивает взаимодействие Океана с атмосферой. Больше всего нефтью загрязнен Атлантический океан. Движение поверхностных вод в Океане приводит к распространению загрязнений на большие расстояния. Особенно опасны катастрофы крупных танкеров, которые приводят к «залповым» выбросам нефти. 
Литосфера: загрязняется в первую очередь твердыми отходами, которые накапливаются в отвалах, на свалках и являются опасными источниками загрязнения земной поверхности. Твердые отходы, как правило, сжигают, захоранивают или складируют. Бытовой мусор состоит из бумаги, металла, древесины, стекла, полимеров и др. Еще более опасным является нарушение горными выработками земель. Экологически наиболее опасными являются токсичные отходы, которые хранят в хранилимогильниках, на складах. К ним относятся тяжелые металлы (мышьяк, свинец, кадмий, ртуть) , которые накапливаются в организме человека и обладают канцерогенным действием. Часто отходы служат вторичным сырьем, например, для производства строительных материалов. Для облагораживания земель, нарушенных горными выработками, применяют рекультивацию. 
Пути решения: 1.Уменьшение материалоемкости производства. 2.Переработка отходов. 3.Рекультивация земель.