Профильная математика 15 задание

log(1 + 1/(x + 1)²) (x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ 0

одз

1 + 1/(x + 1)² > 0  x ∈ R

1 + 1/(x + 1)² ≠ 1  x ∈ R

(x + 1) ≠ 0 x ≠ -1

(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) > 0

x² + 3x + 2 = 0   D = 9 - 8 = 1  x12 = (-3 +- 1)/2 = -2   -1  

x² - 3x + 4 = 0   D = 9 - 16 < 0   x∈ R

(x + 1)(x + 2) > 0

x∈ (-∞, -2) U (-1, +∞)

log(1 + 1/(x + 1)²) (x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ log(1 + 1/(x + 1)²) 1

1 + 1/(x + 1)² > 1 всегда

(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4) ≤ 1

(x² + 3x + 2)/(x² - 3x + 4)  - 1 ≤ 0

(x² + 3x + 2 - (x² - 3x + 4)) ≤ 0

знаменатель отбрасываем (x² - 3x + 4) он всегда >0

(x² + 3x + 2 - x² + 3x - 4) ≤ 0

6x - 2 ≤ 0

x ≤ 1/3

x∈ (-∞, -2) U (-1, 1/3]

Решите неравенство  Log_(1 +1/(x+1)²)  ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0

ответ:   x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .

Пошаговое объяснение:   x²-3x+4 =(x -3/2)² +7/4  > 0    || ≥7/4 ||

ОДЗ:  { x²+3x +2  > 0 ; x+1 ≠0 . ⇔{ (x +2)(x+1)  > 0 ; x ≠ - 1. ⇒

x ∈ ( - ∞ ; -2) ∪ (-1  ; ∞) .

1 +1/(x+1)² > 1  ;  

Log_(1 +1/(x+1)²)  ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 0 ⇔  0 < ( x²+3x +2)/(x²-3x+4) ≤ 1 ⇔

0 < x²+3x +2  ≤ x²-3x+4 ⇔0 ⇔  { x²+3x +2>0 ; x²+3x +2  ≤ x²-3x+4.⇔

{ (x+2)(x+1)>0 ;  x²+3x +2  ≤ x²-3x+4.⇔ { (x+2)(x+1)>0 ;  x  ≤ 1/3.         ⇒

x ∈ ( -∞ ; -2) ∪ (-1 ; 1/3] .