Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8. Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Во вложении мое неверное решение (сумма вероятностей не равна 1)
Закон распределения случайной величины X – это таблица, которая показывает значения X и соответствующие им вероятности.
В данном случае X – число попаданий в мишень. Значит, возможные значения X: 0, 1, 2, 3, 4 (т.к. производится 4 выстрела по мишени).
Нам дано, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8. Значит, вероятность промаха при каждом выстреле равна (1 - 0.8) = 0.2.
Теперь давайте составим закон распределения:
Для X = 0 - это значит, что все 4 выстрела были промахами. Вероятность такого события - (0.2)^4, так как для каждого выстрела вероятность промаха равна 0.2.
Для X = 1 - это значит, что ровно 1 выстрел был попаданием, а 3 выстрела были промахами. Таких вариантов может быть 4 (т.к. попадание могло быть на первом, втором, третьем или четвертом выстреле). Вероятность каждого из этих вариантов - (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2).
Аналогично, для X = 2, 3, 4 вероятности можно посчитать следующим образом:
Для X = 2: Возможно 6 вариантов, когда ровно 2 из 4 выстрелов попали в мишень. Каждый из этих вариантов происходит с вероятностью (0.8 * 0.8 * 0.2 * 0.2).
Для X = 3: Возможно 4 варианта, когда ровно 3 из 4 выстрелов попали. Вероятность каждого из этих вариантов - (0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.2).
Для X = 4: Вероятность данного события - (0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8), так как все 4 выстрела попали.
Теперь, соберем вместе все вероятности, чтобы получить закон распределения:
X = 0: (0.2)^4 = 0.0016
X = 1: 4 * (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2) = 0.0512
X = 2: 6 * (0.8 * 0.8 * 0.2 * 0.2) = 0.1536
X = 3: 4 * (0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.2) = 0.3072
X = 4: (0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8) = 0.4096
Теперь найдем математическое ожидание, которое является средним значением случайной величины. Для этого умножим каждое значение X на соответствующую вероятность и сложим результаты:
E(X) = 0 * 0.0016 + 1 * 0.0512 + 2 * 0.1536 + 3 * 0.3072 + 4 * 0.4096 = 0 + 0.0512 + 0.3072 + 0.9216 + 1.6384 = 2.9184
Таким образом, математическое ожидание этой случайной величины равно 2.9184.
Теперь найдем дисперсию, которая показывает, насколько случайная величина отклоняется от своего математического ожидания. Для этого вычислим сумму квадратов разностей между каждым значением X и математическим ожиданием, умноженных на соответствующую вероятность этого значения, и сложим результаты:
Var(X) = (0 - 2.9184)^2 * 0.0016 + (1 - 2.9184)^2 * 0.0512 + (2 - 2.9184)^2 * 0.1536 + (3 - 2.9184)^2 * 0.3072 + (4 - 2.9184)^2 * 0.4096
Выполнив расчеты, получаем:
Var(X) ≈ 0.4687
Таким образом, дисперсия этой случайной величины примерно равна 0.4687.
Надеюсь, это решение понятно и помогло вам понять, как составить закон распределения случайной величины X, а также как найти математическое ожидание и дисперсию. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!