Чтобы провести исследование функции, заданной графиком, необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Определить область определения функции.
Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция определена. На графике можно увидеть, что функция определена для всех значений x, кроме одной точки, где есть разрыв. Определите эту точку и исключите ее из области определения.
Шаг 2: Найти и классифицировать точки разрыва.
На графике можно увидеть, что у функции есть точка разрыва в точке x = 2. Необходимо определить тип разрыва и классифицировать его. Это можно сделать, посмотрев на график функции предельно слева и предельно справа от точки разрыва. Если значения функции приближаются к разным числам справа и слева от точки разрыва, то это точка разрыва первого рода. Если значения функции приближаются к одному числу как справа, так и слева от точки разрыва, то это точка разрыва второго рода.
Шаг 3: Найти и классифицировать особые точки.
Особая точка - это точка, где функция может иметь различные свойства, такие как вертикальные или горизонтальные асимптоты или точки перегиба. На графике можно увидеть, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1 и горизонтальную асимптоту при y = 1. Необходимо классифицировать их и описать свойства функции в этих точках.
Шаг 4: Нахождение точек пересечения с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осями координат, необходимо решить уравнения функции, приравняв ее к нулю или находя значение y при x = 0. В данном случае на графике можно увидеть, что функция пересекает ось y при y = 1/2 и ось x при x = 1.
Шаг 5: Найти и классифицировать экстремумы.
Экстремумы - это экстремальные точки функции, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Для нахождения экстремумов в данном случае необходимо анализировать кривизну графика и его изменение относительно осей координат. На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = 0,5 и локальный максимум в точке x = 4. Описать результаты и классифицировать найденные экстремумы.
Шаг 6: Найти и классифицировать точки перегиба.
Точки перегиба - это точки, в которых меняется кривизна графика функции. Чтобы найти их, необходимо найти точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Далее необходимо проанализировать изменение кривизны графика относительно осей координат. В данном случае на графике видно, что функция имеет точку перегиба при x = 2/3. Классифицируйте найденную точку перегиба и описать свойства функции в этой точке.
Шаг 7: Нарисовать график функции.
Постройте график функции, используя результаты исследования. Убедитесь, что график соответствует данным, полученным в процессе исследования.
Данные шаги позволят вам подробно исследовать функцию, заданную графиком, и понять ее основные свойства и характеристики. Учитель должен привести каждый шаг с подробными пояснениями и объяснить его значимость.
Шаг 1: Определить область определения функции.
Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция определена. На графике можно увидеть, что функция определена для всех значений x, кроме одной точки, где есть разрыв. Определите эту точку и исключите ее из области определения.
Шаг 2: Найти и классифицировать точки разрыва.
На графике можно увидеть, что у функции есть точка разрыва в точке x = 2. Необходимо определить тип разрыва и классифицировать его. Это можно сделать, посмотрев на график функции предельно слева и предельно справа от точки разрыва. Если значения функции приближаются к разным числам справа и слева от точки разрыва, то это точка разрыва первого рода. Если значения функции приближаются к одному числу как справа, так и слева от точки разрыва, то это точка разрыва второго рода.
Шаг 3: Найти и классифицировать особые точки.
Особая точка - это точка, где функция может иметь различные свойства, такие как вертикальные или горизонтальные асимптоты или точки перегиба. На графике можно увидеть, что функция имеет вертикальную асимптоту при x = 1 и горизонтальную асимптоту при y = 1. Необходимо классифицировать их и описать свойства функции в этих точках.
Шаг 4: Нахождение точек пересечения с осями координат.
Чтобы найти точки пересечения с осями координат, необходимо решить уравнения функции, приравняв ее к нулю или находя значение y при x = 0. В данном случае на графике можно увидеть, что функция пересекает ось y при y = 1/2 и ось x при x = 1.
Шаг 5: Найти и классифицировать экстремумы.
Экстремумы - это экстремальные точки функции, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Для нахождения экстремумов в данном случае необходимо анализировать кривизну графика и его изменение относительно осей координат. На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = 0,5 и локальный максимум в точке x = 4. Описать результаты и классифицировать найденные экстремумы.
Шаг 6: Найти и классифицировать точки перегиба.
Точки перегиба - это точки, в которых меняется кривизна графика функции. Чтобы найти их, необходимо найти точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует. Далее необходимо проанализировать изменение кривизны графика относительно осей координат. В данном случае на графике видно, что функция имеет точку перегиба при x = 2/3. Классифицируйте найденную точку перегиба и описать свойства функции в этой точке.
Шаг 7: Нарисовать график функции.
Постройте график функции, используя результаты исследования. Убедитесь, что график соответствует данным, полученным в процессе исследования.
Данные шаги позволят вам подробно исследовать функцию, заданную графиком, и понять ее основные свойства и характеристики. Учитель должен привести каждый шаг с подробными пояснениями и объяснить его значимость.