Прямая a b касается окружности с центром в точке o радиуса r в точке b . найдите a b (в см), если известно, что a o = 5 , 2 см, ∠ a o b = 30 0 .

Для начала воспользуемся тем, что 10 = 2 * 5:


Рассмотрим множитель в скобках. Разложим это выражение по формуле разности квадратов:


Получились уже совсем небольшие сомножители, их можно легко посчитать. Делать мы этого, разумеется, не будем, вместо этого посчитаем остаток от деления числа на 8.

дает остаток 1 при делении на 8, тогда  тоже дает остаток 1 при делении на 8, а  дает остаток 5 при делении на 8, откуда  при некотором натуральном n.

Значит,  делится на 4 и не делится на 8, а  делится на 2, но не на 4. Получается, что максимальная степень двойки, на которую делится произведение , есть 

Максимальное количество правдивых гоблинов - 56.

По одному с каждого края и далее - через одного.

По условию, справа и слева от каждого правдивого должны стоять лжецы.

Иначе правдивые солгут.

Справа и слева от каждого лжеца должны стоять правдивые.

Иначе лжецы скажут правду.

Возможно чередование, когда вначале и в конце стоят лжецы. Условие будет соблюдено, однако, в этом случае лжецов будет на 1 больше, чем правдивых. 

То есть максимальное количество правдивых:

             111 = 110 + 1 = 55*2 + 1 = 56 + 55

56 правдивых гоблинов и 55 лжецов.