Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром O (рис. 12.11). Прямая а принадлежит плоскости окруж- ности и касается данной окружности в точке В. Докажите, что AB ⟂ а.
Для доказательства того, что AB ⟂ а, нужно использовать свойства перпендикулярных прямых и теорему о касательной к окружности.
1. Из рисунка видно, что прямая АО проходит через центр окружности O. Поскольку прямая АО перпендикулярна плоскости окружности, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2. Также из рисунка видно, что прямая а касается окружности в точке В. Из теоремы о касательной к окружности следует, что прямая а будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра O к точке касания В.
3. Обозначим точку пересечения прямых АО и а как С. Так как прямая АО перпендикулярна радиусу ОВ, то угол между прямыми АС и СО будет прямым (так как угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусам).
4. Теперь нам нужно доказать, что угол между прямыми AB и а также равен 90 градусам. Для этого предположим обратное: пусть угол АВС не равен 90 градусам.
5. В таком случае, угол АВС будет остроугольным или тупоугольным. Если угол АВС остроугольный, то это означает, что прямая СВ пересекает прямую а внутри окружности. Но это невозможно, так как прямая а является касательной к окружности и пересечений с ней быть не должно.
6. Если угол АВС тупоугольный, то это означает, что прямая АС пересекает прямую а за окружностью. Но это также невозможно, так как прямая а касается окружности только в точке В.
7. Таким образом, несмотря на то, каким образом предположили обратное, оно оказалось неверным. Значит, наше первоначальное утверждение верно: AB ⟂ а. Доказательство завершено.
Итак, мы доказали, что прямая AB перпендикулярна прямой а.
1. Из рисунка видно, что прямая АО проходит через центр окружности O. Поскольку прямая АО перпендикулярна плоскости окружности, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
2. Также из рисунка видно, что прямая а касается окружности в точке В. Из теоремы о касательной к окружности следует, что прямая а будет перпендикулярна радиусу, проведенному из центра O к точке касания В.
3. Обозначим точку пересечения прямых АО и а как С. Так как прямая АО перпендикулярна радиусу ОВ, то угол между прямыми АС и СО будет прямым (так как угол между перпендикулярными прямыми равен 90 градусам).
4. Теперь нам нужно доказать, что угол между прямыми AB и а также равен 90 градусам. Для этого предположим обратное: пусть угол АВС не равен 90 градусам.
5. В таком случае, угол АВС будет остроугольным или тупоугольным. Если угол АВС остроугольный, то это означает, что прямая СВ пересекает прямую а внутри окружности. Но это невозможно, так как прямая а является касательной к окружности и пересечений с ней быть не должно.
6. Если угол АВС тупоугольный, то это означает, что прямая АС пересекает прямую а за окружностью. Но это также невозможно, так как прямая а касается окружности только в точке В.
7. Таким образом, несмотря на то, каким образом предположили обратное, оно оказалось неверным. Значит, наше первоначальное утверждение верно: AB ⟂ а. Доказательство завершено.
Итак, мы доказали, что прямая AB перпендикулярна прямой а.