Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см, а гипотенуза — 10 см, вращается вокруг большего катета.
Название тела вращения:
.
Высота полученного тела вращения равна
см.
Образующая полученного тела вращения равна
см.
Радиус полученного тела вращения равен
см.
Тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называется усеченным конусом.
Высота полученного тела вращения:
Чтобы найти высоту усеченного конуса, нужно вспомнить, что высота треугольника, находящегося в его основании, прямоугольного треугольника равна половине произведения катета на гипотенузу.
Так что, в нашем случае, высота полученного тела равна половине произведения большего катета (8 см) и гипотенузы (10 см), то есть 8 см * 10 см / 2 = 40 см.
Образующая полученного тела вращения:
Чтобы найти образующую усеченного конуса, нужно использовать теорему Пифагора. Зная значения катетов и гипотенузы, мы можем найти длину меньшего катета.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть 6^2 + ?^2 = 10^2.
6^2 + ?^2 = 100.
36 + ?^2 = 100.
?^2 = 100 - 36.
?^2 = 64.
? = √64.
? = 8 см.
Теперь у нас есть длина меньшего катета, которая равна 8 см. Это и является образующей усеченного конуса.
Радиус полученного тела вращения:
Радиус усеченного конуса определяется по формуле: R = (объем конуса) / (2π * высота).
Объем конуса можно найти по формуле: V = (pi * (R^2 + r^2 + R * r) * h) / 3, где R и r - радиусы верхнего и нижнего оснований, h - высота конуса.
Таким образом, мы можем найти радиус усеченного конуса. Но для этого нам необходимо знать высоту усеченного конуса. Высота уже была найдена ранее и равна 40 см. Пусть r будет радиусом верхнего основания (который равен радиусу меньшего катета, то есть 8 см), а R - радиусом нижнего основания (который мы хотим найти).
Итак, мы можем использовать формулу объема конуса для нахождения радиуса на основе известных значений:
10 = (pi * (R^2 + 8^2 + R * 8) * 40) / 3.
Для решения этого уравнения относительно R, мы сначала умножим обе части на 3:
30 = (pi * (R^2 + 64 + 8R) * 40).
Затем разделим обе части на pi * 40:
30 / (pi * 40) = R^2 + 64 + 8R.
Упростим левую сторону:
30 / (pi * 40) ≈ 0.2387.
Теперь вычтем 64 и 8R из обеих сторон:
0.2387 - 64 + 8R = R^2.
R^2 - 8R - 63.7613 ≈ 0.
Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:
D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -8 и c ≈ -63.7613.
D = (-8)^2 - 4(1)(-63.7613).
D = 64 + 255.0452.
D ≈ 319.0452.
Теперь, используем формулу для нахождения значений R:
R = (-b ± √D) / (2a).
R = (8 ± √319.0452) / 2.
R = (8 ± √319.0452) / 2.
R ≈ (8 ± 17.8657) / 2.
R ≈ (8 + 17.8657) / 2 ≈ 25.8657 / 2 ≈ 12.9329 см (округляем до 4 знаков после запятой).
Таким образом, получившееся значение радиуса усеченного конуса равно около 12.9329 см.