задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:Классическое определение вероятности: p = k/n где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!Число сочетаний и факториалыПусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается Cnk и считается по специальной формуле.Обозначение:Число сочетаний из n элементов по kВыражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 — подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими бармен может выполнить заказ?Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:Число сочетаний из 6 элементов по 3 Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими можно это сделать?Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:Число сочетаний из 20 элементов по 2
Древнеегипетская цивилизация возникла в регионе дельты Нила. За историю Древнего Египта сменилось 30 династий правителей. 32 г. до н. э. считается рубежом существования древнеегипетской цивилизации.
Окруженность Египта горами предопределила замкнутый характер возникшей здесь цивилизации, которая носила земледельческий характер. Сельскохозяйственный труд, благодаря благоприятным климатическим условиям, не требовал больших физических затрат, древние египтяне собирали урожай два раза в год. Обрабатывали глину, камень, дерево и металлы. Орудия земледелия изготовляли из обожженной глины. Кроме того, использовались еще гранит, алебастр, сланец и кость. Небольшие сосуды вытачивали иногда из горного хрусталя.
Восприятие и измерение времени в Древнем Египте обуславливалось ритмом разлива Нила. Каждый новый год расценивался египтянами как повторение и определялся не солнечным циклом, а временем, необходимым для сбора урожая. Они изображали слово “год” (“ренпет”) в виде молодого ростка с почкой. Годовой цикл делился на три сезона по 4 месяца каждый: разлив Нила (ахет – “разлив, половодье”), после которго наступал сезон сева (перет – “выхождение” земли из-под вод и прорастание всходов), а за ним сезон сбора урожая (шему – “засуха”, “сухость”), т.е. спад Нила. Месяцы не имели названий, а нумеровались. Каждый четвертый год был високосным, каждый пятый день декады был выходным. Счет времени велся жрецами.
Египтяне разделяли день на двенадцать часов и на двенадцать – ночь. Каждый час имел свое название. Первый час дня назывался “блистающим”, шестой -- “час подъема” и т.п.
Кроме того, все дни года делились на три категории – счастливые, опасные и несчастливые – в зависимости от событий, которые отметили их в те времена, когда на земле жили боги. Таким образом, египтяне вели себя в зависимости от дней. В несчастливые дни они старались не выходить из дома, особенно на закате и ночью. В такие дни нельзя было купаться, плавать на лодках, отправляться в дорогу, есть рыбу и все, что происходит из воды. Главную роль в регламентации поведения играли традиции. Чтобы освежить память и подсказать правильное решение в сомнительных случаях, существовали календари с отмеченными счастливыми и несчастливыми днями.
Высокий уровень жизни и благополучие древних египтян подтверждаются фактом наличия у них двух обычаев, не характерных для других древних цивилизаций: оставлять в живых всех стариков и всех новорожденных младенцев. Основной одеждой египтян была набедренная повязка. Сандалии они носили очень редко, а главным средством демонстрации социального положения было количество украшений (ожерелий, браслетов).
Египтяне обожествляли Нил, как и всю природу. Его изображали в виде тучного мужчины с отвислыми сосками, жирным, в складках, животом, перепоясанным поясом, в сандалиях, что считалось символом богатства. Его называли “отцом богов”. Многие города носили его имя. Когда должен был начаться разлив, божественному Нилу приносили жертвы во многих храмах.
Египтяне верили, что все на свете принадлежит богам, что боги – источник всеобщего процветания, что они знают их помыслы и желания и могут в любой момент вмешаться в дела людей. В то же время природа богов была единосущна с человеческой: богам приписывались человеческие качества, у каждого был свой характер, у них были семьи. Сам человек за свои добрые дела, по представлениям древних египтян, после смерти мог стать богом. Они также обожествляли животных, птиц, особенно почитали крокодила, ибиса. С не меньшим почитанием относились к растениям. Каждый город, например, поклонялся своему священному дереву. Жертвоприношения богам совершались в храмах. Таким образом, верующие в любой момент могли прийти к богу в его храм, чтобы испросить совет или поблагодарить.
Египтяне считали, что после смерти они пападут на суд бога Осириса (Усир – царь загробного мира), который будет взвешивать на весах их плохие и добрые дела. Они стремились, чтобы загробная жизнь ничем не отличалась от жизни земной. Тела бальзамировали. Состоятельные люди заранее готовили для себя загробный дом, поэтому каждый город живых имел город мертвых (в пустыне рядом с городом). Стены домов живых людей расписывались геометрическим и растительным орнаментом, а стены домов мертвых – сценами из их жизни.
Древнеегипетское государство имело черты централизованной деспотии. Фараон являлся персонификацией государства: в его руках объединялась административная, судебная и военная власть. Древние египтяне считали, что бог Ра (бог солнца в египетской мифологии) заботится об их благосостоянии и посылает на землю своего сына – фараона. Каждый фараон расценивался как сын бога Ра. В задачи фараона входило выполнение сакральных, культовых обрядов в храмах, для того, чтобы страна была благополучной. Повседневная жизнь фараона строго регламентировалась, поскольку он был верховным жрецом всех богов. Говоря современным языком, фараоны были профессиональными государтвенными деятелями, имевшими необходимые знания и опыт.
задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:Классическое определение вероятности: p = k/n где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!Число сочетаний и факториалыПусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается Cnk и считается по специальной формуле.Обозначение:Число сочетаний из n элементов по kВыражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 — подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими бармен может выполнить заказ?Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:Число сочетаний из 6 элементов по 3 Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими можно это сделать?Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:Число сочетаний из 20 элементов по 2
Окруженность Египта горами предопределила замкнутый характер возникшей здесь цивилизации, которая носила земледельческий характер. Сельскохозяйственный труд, благодаря благоприятным климатическим условиям, не требовал больших физических затрат, древние египтяне собирали урожай два раза в год. Обрабатывали глину, камень, дерево и металлы. Орудия земледелия изготовляли из обожженной глины. Кроме того, использовались еще гранит, алебастр, сланец и кость. Небольшие сосуды вытачивали иногда из горного хрусталя.
Восприятие и измерение времени в Древнем Египте обуславливалось ритмом разлива Нила. Каждый новый год расценивался египтянами как повторение и определялся не солнечным циклом, а временем, необходимым для сбора урожая. Они изображали слово “год” (“ренпет”) в виде молодого ростка с почкой. Годовой цикл делился на три сезона по 4 месяца каждый: разлив Нила (ахет – “разлив, половодье”), после которго наступал сезон сева (перет – “выхождение” земли из-под вод и прорастание всходов), а за ним сезон сбора урожая (шему – “засуха”, “сухость”), т.е. спад Нила. Месяцы не имели названий, а нумеровались. Каждый четвертый год был високосным, каждый пятый день декады был выходным. Счет времени велся жрецами.
Египтяне разделяли день на двенадцать часов и на двенадцать – ночь. Каждый час имел свое название. Первый час дня назывался “блистающим”, шестой -- “час подъема” и т.п.
Кроме того, все дни года делились на три категории – счастливые, опасные и несчастливые – в зависимости от событий, которые отметили их в те времена, когда на земле жили боги. Таким образом, египтяне вели себя в зависимости от дней. В несчастливые дни они старались не выходить из дома, особенно на закате и ночью. В такие дни нельзя было купаться, плавать на лодках, отправляться в дорогу, есть рыбу и все, что происходит из воды. Главную роль в регламентации поведения играли традиции. Чтобы освежить память и подсказать правильное решение в сомнительных случаях, существовали календари с отмеченными счастливыми и несчастливыми днями.
Высокий уровень жизни и благополучие древних египтян подтверждаются фактом наличия у них двух обычаев, не характерных для других древних цивилизаций: оставлять в живых всех стариков и всех новорожденных младенцев. Основной одеждой египтян была набедренная повязка. Сандалии они носили очень редко, а главным средством демонстрации социального положения было количество украшений (ожерелий, браслетов).
Египтяне обожествляли Нил, как и всю природу. Его изображали в виде тучного мужчины с отвислыми сосками, жирным, в складках, животом, перепоясанным поясом, в сандалиях, что считалось символом богатства. Его называли “отцом богов”. Многие города носили его имя. Когда должен был начаться разлив, божественному Нилу приносили жертвы во многих храмах.
Египтяне верили, что все на свете принадлежит богам, что боги – источник всеобщего процветания, что они знают их помыслы и желания и могут в любой момент вмешаться в дела людей. В то же время природа богов была единосущна с человеческой: богам приписывались человеческие качества, у каждого был свой характер, у них были семьи. Сам человек за свои добрые дела, по представлениям древних египтян, после смерти мог стать богом. Они также обожествляли животных, птиц, особенно почитали крокодила, ибиса. С не меньшим почитанием относились к растениям. Каждый город, например, поклонялся своему священному дереву. Жертвоприношения богам совершались в храмах. Таким образом, верующие в любой момент могли прийти к богу в его храм, чтобы испросить совет или поблагодарить.
Египтяне считали, что после смерти они пападут на суд бога Осириса (Усир – царь загробного мира), который будет взвешивать на весах их плохие и добрые дела. Они стремились, чтобы загробная жизнь ничем не отличалась от жизни земной. Тела бальзамировали. Состоятельные люди заранее готовили для себя загробный дом, поэтому каждый город живых имел город мертвых (в пустыне рядом с городом). Стены домов живых людей расписывались геометрическим и растительным орнаментом, а стены домов мертвых – сценами из их жизни.
Древнеегипетское государство имело черты централизованной деспотии. Фараон являлся персонификацией государства: в его руках объединялась административная, судебная и военная власть. Древние египтяне считали, что бог Ра (бог солнца в египетской мифологии) заботится об их благосостоянии и посылает на землю своего сына – фараона. Каждый фараон расценивался как сын бога Ра. В задачи фараона входило выполнение сакральных, культовых обрядов в храмах, для того, чтобы страна была благополучной. Повседневная жизнь фараона строго регламентировалась, поскольку он был верховным жрецом всех богов. Говоря современным языком, фараоны были профессиональными государтвенными деятелями, имевшими необходимые знания и опыт.