Из соображений четности, раз сумма четырех чисел нечетна, то хотя бы одно из них четно, а раз оно четное и простое, то оно равно 2.
Пусть d = 2, тогда получаем:
a+b+c = 2019
abcd/10 = abc/5
Предположим, что еще одно число четно и равно 2, но тогда сумма двух оставшихся опять нечетна, а значит есть еще одно число равно 2, но тогда последнее число: 2019 - 4 = 2015 - кратно 5 (не подходит ибо не простое)
Также заметим, что вариант a=b=3 невозможен, ибо 2019 делится на 3, а тогда с кратно 3, то есть не простое. Иначе говоря, минимальный вариант: a = 3; b = 5
Итак, имеем:
a+b+c = 2019, где a,b,c >=3
Первым шагом определим наименьшее значение такого выражения: (предполагая, что a,b,c различные нечетные числа в данном случае не обязательно простые). Если a=b=c достигается максимум abc, что нас не устраивает)
ab+c = Smin
Вычитая первое равенство получаем:
Smin - 2019 = ab - a - b
Smin = 2019 +ab - a - b = 2018 + (a-1)(b-1) >= 2018 + 2*4 = 2026
Достигается, когда: a = 3; b=5
То есть: (ab +c) min = 2026, будет достигнуто, когда a=3; b = 5; c = 2011 соответственно.
Пусть: ab + c = t, при этом c>b>a, тогда найдем минимальное значение abc в зависимости от t:
ab + c = t
abc = Rmin
Rmin = c(t-c) = ct - c^2 - парабола c единственным максимумом : c = t/2, ,то есть до него функция возрастает, а после него убывает, иначе говоря, минимум будет достигнут либо когда с самое малое из возможных, либо когда с самое большое из возможных, но c>b>a, то есть abc минимально возможно, когда с максимальное из возможных, то есть как раз: 2019 - 3 - 5 = 2011
То есть, если ab + c = t, то наименьшее значение abc равно:
min(abc) = 2011(t-2011)
А поскольку min(t) = 2026, то
min(abc) = 2011(2026 - 2011) = 2011 * 15 = 30165
Cогласуется с условием: a=3; b = 5; c = 2011
Заметим, что с = 2011 как раз является простым, что удовлетворяет условию.
ответ: 6033
Пошаговое объяснение:
Из соображений четности, раз сумма четырех чисел нечетна, то хотя бы одно из них четно, а раз оно четное и простое, то оно равно 2.
Пусть d = 2, тогда получаем:
a+b+c = 2019
abcd/10 = abc/5
Предположим, что еще одно число четно и равно 2, но тогда сумма двух оставшихся опять нечетна, а значит есть еще одно число равно 2, но тогда последнее число: 2019 - 4 = 2015 - кратно 5 (не подходит ибо не простое)
Значит: a,b,c>=3 (3 - наименьшее простое нечетное число)
Также заметим, что вариант a=b=3 невозможен, ибо 2019 делится на 3, а тогда с кратно 3, то есть не простое. Иначе говоря, минимальный вариант: a = 3; b = 5
Итак, имеем:
a+b+c = 2019, где a,b,c >=3
Первым шагом определим наименьшее значение такого выражения: (предполагая, что a,b,c различные нечетные числа в данном случае не обязательно простые). Если a=b=c достигается максимум abc, что нас не устраивает)
ab+c = Smin
Вычитая первое равенство получаем:
Smin - 2019 = ab - a - b
Smin = 2019 +ab - a - b = 2018 + (a-1)(b-1) >= 2018 + 2*4 = 2026
Достигается, когда: a = 3; b=5
То есть: (ab +c) min = 2026, будет достигнуто, когда a=3; b = 5; c = 2011 соответственно.
Пусть: ab + c = t, при этом c>b>a, тогда найдем минимальное значение abc в зависимости от t:
ab + c = t
abc = Rmin
Rmin = c(t-c) = ct - c^2 - парабола c единственным максимумом : c = t/2, ,то есть до него функция возрастает, а после него убывает, иначе говоря, минимум будет достигнут либо когда с самое малое из возможных, либо когда с самое большое из возможных, но c>b>a, то есть abc минимально возможно, когда с максимальное из возможных, то есть как раз: 2019 - 3 - 5 = 2011
То есть, если ab + c = t, то наименьшее значение abc равно:
min(abc) = 2011(t-2011)
А поскольку min(t) = 2026, то
min(abc) = 2011(2026 - 2011) = 2011 * 15 = 30165
Cогласуется с условием: a=3; b = 5; c = 2011
Заметим, что с = 2011 как раз является простым, что удовлетворяет условию.
Откуда:
min(abc/5) = 30165/5 = 6033