Пусть F(x, y, z) = (2y, x - 2z, x + y - z) и G(x, y, z) = (2z, x - y, 3y + z) есть отображения из R^{3} в R^{3}.
1. Найти размерности ядра и образа отображения F.
2. Найти характеристическое уравнение отображения F. Каковы собственные значения и собственные векторы отображения F?
Если знаете как выполнить хоть какое-то задание, то объяснить как оно выполняется.

Карта — она ведь плоская. Простой лист бумаги, раскрашенный разными цветами. Так и хочется приподнять край и заглянуть, где именно стоит огромная черепаха, и каково живётся тем трём слонам, что в древности держали плоскую Землю? На карте всё иначе. Кажется, что островок в нескольких сантиметрах от нас, а на самом деле он чуть ли не в другом полушарии. Кажется, что океан — всего лишь лужа, а на деле в нём гуляют волны по тридцать метров в вышину. А вот это коричневое пятно не след от растаявшего шоколада — это знаменитый Эверест. Самая высокая гора в мире.Не поймёшь на карте, как сменяются ночь и день. Как не крути настольную лампу, моделируя движение солнца, а свет всё равно целиком освещает расстеленный лист. Но карты рисуют не абы как. Целая технология построения картографических проекций позволяет на простом, плоском листе бумаги получить чёткое представление о форме, размерах и положении объекта, а ведь это может быть крайне важно.Карты начинали рисовать ещё в Египте и Китае, а уж вершины эта наука достигла во времена Античных героев и Олимпийских Богов. Именно греки первыми создали не простые схематичные рисунки, а карты, учитывающие шарообразность Земли.Да — да, Земля — это шар. Далеко не все сразу приняли эту мысль, ведь держать на спине шар слонам было бы жутко неудобно, и стоило бы одному из них зазеваться, Земля рухнула бы в бездонную пропасть. Тем не менее, факты подтверждают шарообразность Земли, и при рисовании карт приходилось это учитывать.В настоящее время далеко не все карты одинаковы, и существует целая груда их разновидностей, но основное разделение происходит на карты природных и общественных явлений. Именно их изучают в школах, и именно они висят почти в каждом кабинете географии.Стоит отметить, что если карты несут, так сказать, прямую пользу обществу, то глобус, наоборот, представляет собой ценность скорее в качестве сувенира. Наглядного макета нашей планеты. На нем можно воочию убедиться, как распространяется по поверхности солнечный свет, и посмотреть, как вращается сама Земля. Для этого глобусы обычно помещают на специальную, вращающуюся подставку. Также с глобуса удивительно удобно выбирать точку для путешествия, если, конечно, случайно попасть в центр океана Вас не пугает. Раскрутили глобус на подставке, зажмурились, и резко ткнули пальцем Вуаля! Нас ждет Антарктида.Правда, тут тоже надо быть аккуратным. Ведь стандартные глобусы в тридцать, а то и в восемьдесят миллионов раз меньше реальной планеты, так что область, покрытая пальцем, может включить в себя несколько островов или даже стран.Так что если всерьез решили узнать, куда лучше направиться, то стоит использовать глобус, изготовленный к Парижской выставке 1889 года. Он то всего чуть меньше земного шара. В какой-то миллион раз. Тут не промахнешься.Глобус, безусловно, появился куда позже, чем карты, но успел получить свою долю популярности. Будучи впервые изготовленным в 1492 году, он успел пригодиться и для мореплавания, и для школьного учебного пособия, хотя в последнее время в качестве пособия его используют куда чаще.Нужно отметить, что название Глобус появилось не случайно, хотя тот, кто придумал его, не отличался бурной фантазией. Глобус с латыни переводится как шар. Да, просто шар — ёмко и понятно.Остается нерешенным только один вопрос. Если взять глобус и карту с одинаковым масштабом и наклеить карту на глобус, то совпадут ли горы и реки? Любопытно? Ну тогда можете попробовать. Хотя лучше сначала спросить у учителя.

Уравнения с модулями решаются по следующему общему алгоритму:
1. Найти нули подмодульных выражений
4x-1 = 0 и x+3 = 0
x=1/4  и x = -3
2. Полученные нули разбивают координатную прямую на три промежутка: x>1/4, -3≤x≤1/4, x<-3. Будем раскрывать модули на каждом из промежутков.
1. x>1/4. Здесь оба подмодульных выражения положительны. Тогда:
4x-1+x+3=5
5x=3
x=3/5.
Проверяем, дейстительно ли найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку. В нашем случае, да, принадлежит.
2.  -3≤x≤1/4 На этом промежутке первое подмодульное выражение становится отрицательным, а второе остается положительным.
Значит:
-4x+1+x+3=5
-3x=1
x=-1/3
Опять проверяем, дейстительно ли найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку. В нашем случае, да, принадлежит.

3. x<-3. На этом промежутке оба подмодульных выражения становятся отрицательными:
-4x+1-x-3=5
-5x=7
x=-7/5
Этот корень не принадлежит рассматриваемому промежутку, он посторонний, значит, на этом промежутке корней у нашего уравнения нет.

ответ: x=-1/3, x=3/5.

В приложенном файле графическая иллюстрация решения.