запишем выражение в виде n*sqrt(1+1/n) вспоминаем ряд Маклорена для функции sqrt(1+x) при |x|<1 наш пример удовлетворяет условию sqrt(1+1/n)=1+1/2n-1/8n^2+1/16n^3 n*sqrt(1+1/n)=n+1/2-1/8n+1/16n^2... остается показать что 1/8n+1/16n^2+<0,1
1/8n<0,1 n>10/8 n>=2
для n>=2 доказано. убедимся что свойство верно и для n=1
запишем выражение в виде n*sqrt(1+1/n)
1/8n<0,1 n>10/8 n>=2вспоминаем ряд Маклорена для функции sqrt(1+x) при |x|<1
наш пример удовлетворяет условию
sqrt(1+1/n)=1+1/2n-1/8n^2+1/16n^3
n*sqrt(1+1/n)=n+1/2-1/8n+1/16n^2...
остается показать что 1/8n+1/16n^2+<0,1
для n>=2 доказано. убедимся что свойство верно и для n=1
sqrt(1+1)=sqrt(2)=1,4