Дано уравнение кривой : 1. Определить тип кривой. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3. Найти соответствующие преобразования координат. Решение. Приводим квадратичную форму B = y2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:точки ↓ B= Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (0 - z)x1 + 0y1 = 0 0x1 + (1 - z)y1 = 0 Характеристическое уравнение: Характеристическое уравнение: 0 - λ ;0 = 0 ;1 - λ= D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1 x1=1 x2=0 Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0) Вид квадратичной формы: y2 Выделяем полные квадраты: для y1: (y12-2•3y1 + 32) -1•32 = (y1-3)2-9 Преобразуем исходное уравнение: (y1-3)2 = 16x -16 Получили уравнение параболы: (y - y0)2 = 2p(x - x0) Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (1;3) Параметр p = 8 Координаты фокуса: F= Уравнение директрисы: x = x0 - p/2 x = 1 - 4 = -3
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:точки ↓
B=
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(0 - z)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (1 - z)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение:
0 - λ ;0 =
0 ;1 - λ=
D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1
x1=1
x2=0
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0)
Вид квадратичной формы:
y2
Выделяем полные квадраты:
для y1:
(y12-2•3y1 + 32) -1•32 = (y1-3)2-9
Преобразуем исходное уравнение:
(y1-3)2 = 16x -16
Получили уравнение параболы:
(y - y0)2 = 2p(x - x0)
Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (1;3)
Параметр p = 8
Координаты фокуса:
F=
Уравнение директрисы: x = x0 - p/2
x = 1 - 4 = -3
При n = 1 будет
N(1) = 5^(2+3) + 8 + 3 = 5^5 + 11 = 3125 + 11 = 3136 = 16*196 - выполняется.
Пусть оно выполняется для какого-то n, тогда для n+1 будет
N(n+1) = 5^(2n+2+3) + 8(n+1) + 3 = 5^(2n+3)*5^2 + 8n + 8 + 3 =
= 5^(2n+3)*25 + 8n + 3 + 8 = 5^(2n+3) + 8n + 3 + 5^(2n+3)*24 + 8 =
= N(n) + 8*(5^(2n+3)*3 + 1)
N(n) делится на 16, 5^(2n+3) - это 5 в нечетной степени, кончается на 5,
то есть нечетное, 5^(2n+3)*3 тоже нечетное, (5^(2n+3)*3 + 1) четное.
Если четное число умножить на 8, получится число, делящееся на 16.
Теорема доказана.