Рассмотрим уравнение (−4)x^3+2y^3+z^3=0 . будем решать его в целых числах. пусть целые числа x0 , y0 , z0 — решение этого уравнения. какое наибольшее значение может принимать x0^2+y0^2+z0^2
В исходном уравнении первые два слагаемых делятся на 2, значит и третье должно делиться на два. Тогда сделаем замену переменных
Получится уравнение
Сократим на 2:
Перепишем немного в другом виде:
Мы получили в точности исходное уравнение, но в других переменных:
(причем z/2 - целое). Произведем такую замену трижды:
Получили уравнение
Или
Таким образом числа x/2, y/2, z/2 должны быть целыми, то есть x, y, z должны делиться на 2.
Выполнив эту процедуру еще раз, мы докажем, что x/4, y/4, z/4 целые, т.е. x, y, z делятся на 4. Продолжая дальше мы докажем, что x, y, z должны делиться на весь ряд степеней двойки. Но на него делится только 0. А значит x, y, z все обязаны быть нулями. Тогда величина
0
Пошаговое объяснение:
В исходном уравнении первые два слагаемых делятся на 2, значит и третье должно делиться на два. Тогда сделаем замену переменных
Получится уравнение
Сократим на 2:
Перепишем немного в другом виде:
Мы получили в точности исходное уравнение, но в других переменных:
(причем z/2 - целое). Произведем такую замену трижды:
Получили уравнение
Или
Таким образом числа x/2, y/2, z/2 должны быть целыми, то есть x, y, z должны делиться на 2.
Выполнив эту процедуру еще раз, мы докажем, что x/4, y/4, z/4 целые, т.е. x, y, z делятся на 4. Продолжая дальше мы докажем, что x, y, z должны делиться на весь ряд степеней двойки. Но на него делится только 0. А значит x, y, z все обязаны быть нулями. Тогда величина
может принимать только нулевые значения.