Joyli67

17.02.2020 16:12 •  Математика

Разминка 1) Конь - «попрыгун» прыгает по доске 10×10 длинным ходом коня (он прыгает на

соседиее поле, затем прыгает еще на три поля в перпендикулярном направлении).

Можно ли пройти длинным ходом коня с любого исходного поля на соседнее с ним?

2) На поле 10×10 девять клеток заросли травой. После этого трава может разрастись

на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже заросли травой, Докажите,

что тем не менее трава не сможет разрастись на все клетки.

3) В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка - с двумя

мальчиками. В классе 19 парт и 31 хорошист. Сколько учеников в классе?

4) На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается стереть любые два числа а и b и

вместо них написать число а + b - 1. Какие числа могут остаться на доске после 19

таких операций?

5) Треугольник, нарисованный на клетчатой бумаге, разрезали на пять

треугольников, которые ему подобны. Верно ли, что первоначальный треугольник

имеет угол 90 градусов?

6) Тридцать девочек - 13 в красных платьях и 17 в синих платьях - водили хоровод

вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка

справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки,

которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли

ответить утвердительно?

7) Имеем два трёхлитровых таза. В одном 1 л воды, в другом - 1 л двухпроцентного

раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного

таза в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний

получить полуторапроцентный раствор в том тазу, в котором вначале была вода?

8) В каком году родился человек, которому в этом году исполнится столько лет,

какова сумма цифр года его рождения?

9) На острове живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы,

которые всегда лгут. В правительстве острова 101 политик. Решили сократить

правительство на 1 политика. Но каждый из политиков заявил, что, если его уволят,

то среди оставшихся политиков большинство будут лжецами. Сколько рыцарей и

сколько лжецов в правительстве?

10) Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка.

Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.

Можно ли с таких операций собрать все фишки в одном секторе?

11) Двум «хитрецам» сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа

отличаются на 1. Затем они по очереди задают друг другу одинаковый вопрос:

"Знаешь ли ты мое число?". Докажите, что рано или поздно кто-то ответит «Да».
​