1. Если а|| Би 21 = 130° (рис. 1), то угол 2 равен:
а) 130°;
б) 50;
в) 60°;
г) 30°.
На рисунке 1 мы видим, что a и Би параллельны, и угол 21 равен 130°. Так как угол 2 и угол 21 образуют Z, а углы, возникающие при пересечении двух параллельных прямых линий с третьей прямой, называемой трансверсальной, одинаковы, то угол 2 также равен 130°. Ответ: а) 130°.
2. По данным на рисунке 2 найдите угол а.
На рисунке 2 у нас есть две параллельные прямые С и В, а также секущая прямая АБ. Угол между секущей прямой и прямой В обозначен символом а. Угол в прямоугольном треугольнике ACB равен 90°. Так как углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых с третьей, одинаковы (по теореме о соответственных углах), то угол С равен 90°.
Угол а и угол С образуют линию, поэтому их сумма равна 180°. Получаем уравнение:
а + 90° = 180°
а = 180° - 90°
а = 90°
Ответ: угол а равен 90°.
3. На рисунке 3 ZBMK = 2ВАС. Найдите сумму ZMKC + ZACB.
На рисунке 3 у нас есть две параллельные прямые ZC и BM. Угол ZBMK равен углу 2ВАС и состоит из двух равных углов.
Сумма углов ZMKC и ZACB равна углу ZBMK, так как они образуют одну фигуру - ZBMK.
Таким образом, сумма углов ZMKC и ZACB равна (2ВАС + 2ВАС) = 4ВАС.
Ответ: сумма углов ZMKC и ZACB равна 4ВАС.
4. Внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей относятся как 4:5. Найдите больший из этих углов.
По условию задачи, внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых (назовем их А и В) и секущей прямой (назовем ее С) относятся как 4:5.
Предположим, что больший угол - это угол, образованный прямыми А и С. Обозначим его как угол ∠1. Тогда меньший угол будет углом, образованным прямыми В и С, и обозначаемый как угол ∠2.
Согласно условию задачи, соотношение углов должно быть 4:5, то есть:
∠1/∠2 = 4/5
Мы можем представить это соотношение как уравнение:
4х = 5х - 1 (где х - это мера углов ∠1 и ∠2, х является общим множителем)
Решаем уравнение:
4х - 5х = -1
-х = -1
х = 1
Таким образом, мера каждого угла (∠1 и ∠2) равна 1. Из условия задачи нам нужно найти больший угол, поэтому ответ - это мера угла ∠1, равная 1.
Ответ: больший угол равен 1.
5. В четырехугольнике ABCD BC || AD и BC больше AD. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что треугольник ABK - равнобедренный.
Доказательство:
Данный вопрос требует доказательства, что треугольник ABK является равнобедренным. Для этого нам необходимо показать, что стороны АК и ВК равны друг другу.
У нас есть следующие данные:
- BC параллельна AD и BC больше AD
- Биссектриса угла BAD (это линия, которая делит угол BAD пополам) пересекает сторону ВС в точке К.
Из этих данных следует, что углы BAK и KAD равны, так как они являются вертикальными и, следовательно, имеют одинаковую меру.
Также, по теореме о соответственных углах, угол BAK и угол KAD равны.
Итак, у нас есть две пары углов, которые равны друг другу. Таким образом, треугольник ABK является равнобедренным, так как у него две равные стороны (АК и ВК) и два равных угла (BAK и KAD).
1) Для нахождения сечения шара, проходящего через две заданные точки на его поверхности и имеющего самую маленькую площадь, мы должны найти плоскость, проходящую через эти две точки и центр шара. Такая плоскость будет пересекать шар и создавать искомое сечение.
Шаги для нахождения такого сечения:
Шаг 1: Задайте две точки на поверхности шара.
Нам нужно выбрать две точки на поверхности шара, через которые будет проходить сечение. Обозначим эти точки как A и B.
Шаг 2: Найдите центр шара.
Чтобы найти центр шара, нам нужно знать его геометрические параметры. Для простоты предположим, что шар задан координатами своего центра (x, y, z) и радиусом r.
Шаг 3: Найдите уравнение плоскости, проходящей через A, B и центр шара.
Мы можем использовать уравнение плоскости, чтобы найти плоскость, проходящую через заданные точки A и B, и центр шара. Уравнение такой плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C и D - коэффициенты, которые мы должны найти.
Чтобы найти эти коэффициенты, мы можем использовать систему уравнений, в которой каждое уравнение будет соответствовать точке A, точке B и центру шара:
A*x_1 + B*y_1 + C*z_1 + D = 0, (1)
A*x_2 + B*y_2 + C*z_2 + D = 0, (2)
A*x + B*y + C*z + D = 0. (3)
Здесь (x_1, y_1, z_1) - координаты точки A, (x_2, y_2, z_2) - координаты точки B.
Используя метод Гаусса или другие методы решения системы уравнений, найдите значения A, B, C и D.
Шаг 4: Найдите точки пересечения плоскости и шара.
Теперь мы должны найти точки пересечения плоскости (которую мы нашли на шаге 3) и шара. Для этого мы можем подставить уравнение плоскости (3) в уравнение шара:
(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = r^2,
где (x_c, y_c, z_c) - координаты центра шара.
Подставив уравнение плоскости в это уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно z:
(A^2 + B^2 + 1) * z^2 + 2(A*x_c + B*y_c + C*z_c + D) * z + (x_c^2 + y_c^2 + z_c^2 - r^2 - 2(D*z_c + A*x_c + B*y_c)) = 0.
Решите это квадратное уравнение и найдите значения z_1 и z_2. Затем, используя уравнения плоскости (1) и (2), найдите соответствующие значения x и y для каждого z.
Таким образом, мы находим две точки пересечения плоскости и шара: P_1(x_1, y_1, z_1) и P_2(x_2, y_2, z_2). Эти точки определяют сечение шара.
Шаг 5: Найдите площадь этого сечения.
Чтобы найти площадь сечения, мы можем использовать формулу для площади круга:
S = π * r^2,
где r - радиус сечения, который можно найти как расстояние между точками P_1 и P_2.
Таким образом, площадь сечения шара, проходящего через заданные точки A и B и имеющего самую маленькую площадь, равна π * r_min^2, где r_min - самый маленький радиус такого сечения.
Аналогично, для нахождения сечения шара, проходящего через заданные точки A и B и имеющего самую большую площадь, мы должны найти плоскость, которая проходит через A, B и центр шара и имеет максимальную площадь. Процедура для нахождения такого сечения аналогична шагам 1-5, за исключением шага 5, где мы будем использовать максимальный радиус (r_max).
2) Два сечения шара, симметричные относительно его центра, могут быть нарисованы следующим образом:
Шаг 1: Найдите центр шара.
Шаг 2: Возьмите плоскость, проходящую через центр шара и имеющую какую-либо произвольную ориентацию.
Шаг 3: Строим сечение шара, проходящее через эту плоскость.
Шаг 4: Отражаем сечение относительно центра шара.
Шаг 5: Получаем второе сечение, симметричное первому.
Таким образом, нарисованы два сечения шара, симметричные относительно его центра.
1. Если а|| Би 21 = 130° (рис. 1), то угол 2 равен:
а) 130°;
б) 50;
в) 60°;
г) 30°.
На рисунке 1 мы видим, что a и Би параллельны, и угол 21 равен 130°. Так как угол 2 и угол 21 образуют Z, а углы, возникающие при пересечении двух параллельных прямых линий с третьей прямой, называемой трансверсальной, одинаковы, то угол 2 также равен 130°. Ответ: а) 130°.
2. По данным на рисунке 2 найдите угол а.
На рисунке 2 у нас есть две параллельные прямые С и В, а также секущая прямая АБ. Угол между секущей прямой и прямой В обозначен символом а. Угол в прямоугольном треугольнике ACB равен 90°. Так как углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых с третьей, одинаковы (по теореме о соответственных углах), то угол С равен 90°.
Угол а и угол С образуют линию, поэтому их сумма равна 180°. Получаем уравнение:
а + 90° = 180°
а = 180° - 90°
а = 90°
Ответ: угол а равен 90°.
3. На рисунке 3 ZBMK = 2ВАС. Найдите сумму ZMKC + ZACB.
На рисунке 3 у нас есть две параллельные прямые ZC и BM. Угол ZBMK равен углу 2ВАС и состоит из двух равных углов.
Сумма углов ZMKC и ZACB равна углу ZBMK, так как они образуют одну фигуру - ZBMK.
Таким образом, сумма углов ZMKC и ZACB равна (2ВАС + 2ВАС) = 4ВАС.
Ответ: сумма углов ZMKC и ZACB равна 4ВАС.
4. Внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей относятся как 4:5. Найдите больший из этих углов.
По условию задачи, внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых (назовем их А и В) и секущей прямой (назовем ее С) относятся как 4:5.
Предположим, что больший угол - это угол, образованный прямыми А и С. Обозначим его как угол ∠1. Тогда меньший угол будет углом, образованным прямыми В и С, и обозначаемый как угол ∠2.
Согласно условию задачи, соотношение углов должно быть 4:5, то есть:
∠1/∠2 = 4/5
Мы можем представить это соотношение как уравнение:
4х = 5х - 1 (где х - это мера углов ∠1 и ∠2, х является общим множителем)
Решаем уравнение:
4х - 5х = -1
-х = -1
х = 1
Таким образом, мера каждого угла (∠1 и ∠2) равна 1. Из условия задачи нам нужно найти больший угол, поэтому ответ - это мера угла ∠1, равная 1.
Ответ: больший угол равен 1.
5. В четырехугольнике ABCD BC || AD и BC больше AD. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что треугольник ABK - равнобедренный.
Доказательство:
Данный вопрос требует доказательства, что треугольник ABK является равнобедренным. Для этого нам необходимо показать, что стороны АК и ВК равны друг другу.
У нас есть следующие данные:
- BC параллельна AD и BC больше AD
- Биссектриса угла BAD (это линия, которая делит угол BAD пополам) пересекает сторону ВС в точке К.
Из этих данных следует, что углы BAK и KAD равны, так как они являются вертикальными и, следовательно, имеют одинаковую меру.
Также, по теореме о соответственных углах, угол BAK и угол KAD равны.
Итак, у нас есть две пары углов, которые равны друг другу. Таким образом, треугольник ABK является равнобедренным, так как у него две равные стороны (АК и ВК) и два равных угла (BAK и KAD).
Доказательство завершено. Треугольник ABK - равнобедренный.
Шаги для нахождения такого сечения:
Шаг 1: Задайте две точки на поверхности шара.
Нам нужно выбрать две точки на поверхности шара, через которые будет проходить сечение. Обозначим эти точки как A и B.
Шаг 2: Найдите центр шара.
Чтобы найти центр шара, нам нужно знать его геометрические параметры. Для простоты предположим, что шар задан координатами своего центра (x, y, z) и радиусом r.
Шаг 3: Найдите уравнение плоскости, проходящей через A, B и центр шара.
Мы можем использовать уравнение плоскости, чтобы найти плоскость, проходящую через заданные точки A и B, и центр шара. Уравнение такой плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
где A, B, C и D - коэффициенты, которые мы должны найти.
Чтобы найти эти коэффициенты, мы можем использовать систему уравнений, в которой каждое уравнение будет соответствовать точке A, точке B и центру шара:
A*x_1 + B*y_1 + C*z_1 + D = 0, (1)
A*x_2 + B*y_2 + C*z_2 + D = 0, (2)
A*x + B*y + C*z + D = 0. (3)
Здесь (x_1, y_1, z_1) - координаты точки A, (x_2, y_2, z_2) - координаты точки B.
Используя метод Гаусса или другие методы решения системы уравнений, найдите значения A, B, C и D.
Шаг 4: Найдите точки пересечения плоскости и шара.
Теперь мы должны найти точки пересечения плоскости (которую мы нашли на шаге 3) и шара. Для этого мы можем подставить уравнение плоскости (3) в уравнение шара:
(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = r^2,
где (x_c, y_c, z_c) - координаты центра шара.
Подставив уравнение плоскости в это уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно z:
(A^2 + B^2 + 1) * z^2 + 2(A*x_c + B*y_c + C*z_c + D) * z + (x_c^2 + y_c^2 + z_c^2 - r^2 - 2(D*z_c + A*x_c + B*y_c)) = 0.
Решите это квадратное уравнение и найдите значения z_1 и z_2. Затем, используя уравнения плоскости (1) и (2), найдите соответствующие значения x и y для каждого z.
Таким образом, мы находим две точки пересечения плоскости и шара: P_1(x_1, y_1, z_1) и P_2(x_2, y_2, z_2). Эти точки определяют сечение шара.
Шаг 5: Найдите площадь этого сечения.
Чтобы найти площадь сечения, мы можем использовать формулу для площади круга:
S = π * r^2,
где r - радиус сечения, который можно найти как расстояние между точками P_1 и P_2.
Таким образом, площадь сечения шара, проходящего через заданные точки A и B и имеющего самую маленькую площадь, равна π * r_min^2, где r_min - самый маленький радиус такого сечения.
Аналогично, для нахождения сечения шара, проходящего через заданные точки A и B и имеющего самую большую площадь, мы должны найти плоскость, которая проходит через A, B и центр шара и имеет максимальную площадь. Процедура для нахождения такого сечения аналогична шагам 1-5, за исключением шага 5, где мы будем использовать максимальный радиус (r_max).
2) Два сечения шара, симметричные относительно его центра, могут быть нарисованы следующим образом:
Шаг 1: Найдите центр шара.
Шаг 2: Возьмите плоскость, проходящую через центр шара и имеющую какую-либо произвольную ориентацию.
Шаг 3: Строим сечение шара, проходящее через эту плоскость.
Шаг 4: Отражаем сечение относительно центра шара.
Шаг 5: Получаем второе сечение, симметричное первому.
Таким образом, нарисованы два сечения шара, симметричные относительно его центра.