Рассмотрим остатки при делении куба целого числа на 9. Если число n делится на 3, то n3 делится на 9, т.е. дает остаток 0 при делении на 9. Пусть n имеет остаток 1 при делении на 3, тогда n имеет вид 3k+1, где k - целое. По формуле куба суммы имеем: (3k+1)3 = 27k3 + 3*9k2 + 3*3k + 1 = 9*(3k3 + 3k2 + k) + 1. Таким образом, число (3k+1)3 дает остаток 1 при делении на 9. Аналогично рассматривается случай, когда n имеет остаток 2 при делении на 3 (в этом случае можно положить n=3k-1): (3k-1)3 = 27k3 - 3*9k2 + 3*3k - 1 = 9(3k3-3k2+k)-1. Таким образом, число (3k-1)3 дает остаток -1 (это тоже самое, что и остаток 8) при делении на 9. Итак, для остатков от деления куба целого числа на 9 имеется только 3 возможности: 0, 1, -1. Сделав перебор (очень небольшой), убеждаемся, что с трех данных остатков от деления на 9 можно получить в сумме только остатки 0, 1, 2, 3, -1, -2, -3. Таким образом, имеется бесконечное множество натуральных чисел, дающих остаток 4 или -4 при делении на 9 и не представимых в виде суммы трех кубов целых чисел. ответ а.
