РЕАЛЬНО На плоскости проведено n прямых общего положения (т. е. никакие
две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Они
разбили плоскость на конечные и бесконечные части. Каждую конечную
часть покрасили в красный или зеленый цвет. За ход можно перекрасить все части внутри треугольника, образованного некоторыми тремя
прямыми. Докажите, что такими операциями все части можно сделать
красными.
Дано, что на плоскости проведено n прямых общего положения, то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Теперь нужно доказать, что используя операцию перекраски всех частей внутри треугольника, образованного некоторыми тремя прямыми, мы можем сделать все части красными.
Для начала рассмотрим сам треугольник, образованный тремя прямыми. Внутри этого треугольника разделенная плоскость состоит из нескольких многоугольных областей. Обратите внимание, что плоскость разделена на конечное количество частей, так как прямые общего положения их ограничивают.
Теперь давайте научимся перекрашивать все части внутри треугольника. Возьмем любую часть, не являющуюся вершиной треугольника. Заметим, что существует сторона треугольника, которая не является отрезком прямой и проходит через эту часть. Мы можем выбрать такую сторону и перекрасить все части, лежащие с одной стороны от нее, в цвет, отличный от цвета этой части.
Почему это работает? Для этого рассмотрим какую-то прямую, которая является стороной треугольника, и несколько частей внутри треугольника, лежащих с одной стороны от этой прямой. Заметим, что в каждой части, лежащей с одной стороны от этой прямой, имеется ребро, которое пересекает эту прямую. Посмотрим на цвета этих ребер. Они должны быть разными, так как эти ребра принадлежат разным частям, а мы разрешаем перекрашивать части в треугольнике.
Используя предыдущий аргумент, мы можем показать, что разность числа зеленых и красных частей, лежащих с одной стороны от прямой, изменяется на 1 при переходе через эту прямую. Таким образом, перекрашивая все части с каждой новой прямой, мы можем изменять разность на 1.
Поскольку наш треугольник имеет конечное количество сторон, мы можем применить описанную операцию перекраски всего треугольника для каждой из его сторон. В результате каждая из частей, лежащих с одной стороны от каждой из сторон треугольника, будет иметь одинаковый цвет.
Таким образом, мы можем перекрасить все части внутри треугольников в желаемый цвет, что доказывает истинность данного утверждения.
Я надеюсь, что данное объяснение помогло тебе лучше понять решение данной задачи. Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать их!