Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое
1) 3cos2a−4sin2a=3cos2a−4(1−cos2a)=7cos2a−4T.k. −1≤cos a≤1, mo 0≤cos2a≤1 =>−4≤7cos2a−4≤3
-4 - наименьшее значение
3 - наибольшее значение.
\begin{lgathered}2)\ 2sin^2a +3tg\ a*ctg\ a =2sin^2a +3\\ T.k.\ -1 \leq sin\ a \leq 1,\ mo\ 0 \leq sin^2a \leq 1\ => \\ 3 \leq 2sin^2a+3 \leq 5\end{lgathered}2) 2sin2a+3tg a∗ctg a=2sin2a+3T.k. −1≤sin a≤1, mo 0≤sin2a≤1 =>3≤2sin2a+3≤5
3 - наименьшее значение
5 - наибольшее значение.
\begin{lgathered}3)\ 3cos^2a-4sin\ a=3(1-sin^2a)-4sin\ a=-3sin^2a-4sin\ a+3 \\ \Pi ycmb\ sin\ a=t,\ -1 \leq t \leq 1\ =>\\ f(t)=-3t^2-4t+3,\ t \in [-1;1]\\ f'(t)=-6t-4\\ f'(t)=0\ => -6t-4=0\ npu\ t=-\frac{2}{3}\\ f(-\frac{2}{3})=-3(-\frac{2}{3})^2-4(-\frac{2}{3})+3=4\frac{1}{3}\end{lgathered}3) 3cos2a−4sin a=3(1−sin2a)−4sin a=−3sin2a−4sin a+3Πycmb sin a=t, −1≤t≤1 =>f(t)=−3t2−4t+3, t∈[−1;1]f′(t)=−6t−4f′(t)=0 =>−6t−4=0 npu t=−32f(−32)=−3(−32)2−4(−32)+3=431
\begin{lgathered}f(-1)=-3(-1)^2-4(-1)+3=2\\ f(1)=-3*1^2-4*1+3=-4\end{lgathered}f(−1)=−3(−1)2−4(−1)+3=2f(1)=−3∗12−4∗1+3=−4
-4 - наименьшее значение
4\frac{1}{3}431 - наибольшее значение.
Пошаговое объяснение:
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое