Решить, 1) lim x стремиться к бесконечности (2x-5/2x+3)^7x 2) lim x стремиться к +бесконечности (x -корень из x^2 -x+1) 3) lim x стремиться к нулю tgx+sinx/2x 4) lim x стремиться к единице 2x^3 - 2x^2 + x -1/ x^3- x^2 +3x -3 5) lim x стремиться к бесконечности 5x^3 -x^2+4/-7^3+x

Показать ответ

Ответ:

rfvbkz28

08.10.2020 00:40

$1)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{2x-5}{2x+3} \Big )^{7x}= \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{(2x+3)-3-5}{2x+3}\Big )^{7x}=\\\\= \lim\limits _{x \to \infty}\Big (1+ \frac{-8}{2x+3}\Big )^{\frac{2x+3}{-8}\cdot \frac{-8}{2x+3}\cdot 7x}= \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (\underbrace {1+\frac{-8}{2x+3}\Big )^{\frac{2x+3}{-8}}}_{e}\Big )^{\frac{-56x}{2x+3}}=\\\\=e^{\lim\limits _{x \to \infty} \frac{-56x}{2x+3}}=e^{ \frac{-56}{2}}=e^{-28}$

$2)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}(x- \sqrt{x^2-x+1})= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^2-(x^2-x+1)}{x+\sqrt{x^2-x+1}}=\\\\= \lim\limits _{x \to \infty}\, \frac{x-1}{x+\sqrt{x^2-x+1}}= \lim\limits _{x \to \infty}\, \frac{x(1-\frac{1}{x})}{x(1+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}=\frac{1-0}{1+\sqrt{1-0+0}}=\frac{1}{2}\\\\3)\; \; \lim\limits _{x \to 0}\frac{tgx+sinx}{2x}= \lim\limits _{x \to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}+sinx}{2x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{sinx+sinx\cdot cosx}{cosx\cdot 2x}=$

$= \lim\limits _{x \to 0}\frac{sinx(1+cosx)}{cosx\cdot 2x}=\lim\limits _{x \to 0}\Big (\underbrace {\frac{sinx}{x}}_{1}\cdot \frac{1+cosx}{2cosx}\Big )=\frac{1+1}{2\cdot 1}=1\\\\4)\; \; \lim\limits _{x \to 1}\frac{2x^3-2x^2+x-1}{x^3-x^2+3x-3} = \lim\limits _{x \to 1}\frac{(x-1)(2x^2+1)}{(x-1)(x^2+3)}= \lim\limits _{x \to 1}\frac{2x^2+1}{x^2+3}= \frac{3}{4}$

$5)\; \; \lim\limits _{x \to \infty }\frac{5x^3-x^2+4}{-7^{3+x}}=[Lopital]=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{15x^2-2x}{-7^{3+x}\cdot ln7}= \lim\limits _{x \to \infty}\frac{30x-2x}{-7^{3+x}\cdot ln^27}=\\\\= \lim\limits _{x \to +\infty}\frac{30}{-7^{3+x}\cdot ln^37}=[ \frac{30}{\infty } ]=0\\\\ ili\; \; \lim\limits _{x \to -\infty}\frac{30}{-7^{3+x}\cdot ln^37}=[ \frac{30}{0} ]=\infty$