решить
1. Найти стационарные точки функции: f(x)=x^5/5-4/3*x^3+9
2. Найти экстремумы функции:
а) f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+17
б) f(x)=x^3+3/x-12
3. Найти интервалы возрастания и убывания ф-ции: f(x)=2x^3-9x^2+12x-2
4. Найти наибольшее и наименьшее значения: f(x)=-1/3x^3+7/2x^2-10x+9 на отрезке [0;3]
5. Построить график функции : f(x)=-x^3+3x^2-2
1. Найдем стационарные точки функции f(x) = x^5/5 - 4/3x^3 + 9.
Для этого нам потребуется найти производную функции и приравнять ее к нулю:
f'(x) = 5x^4/5 - 4x^2 = x^4 - 4x^2.
Теперь решим уравнение x^4 - 4x^2 = 0:
x^2(x^2 - 4) = 0.
Теперь мы имеем два уравнения: x^2 = 0 и x^2 - 4 = 0.
Решив первое уравнение, получим x = 0.
Решив второе уравнение, получим x = -2 и x = 2.
Таким образом, стационарные точки функции f(x) = x^5/5 - 4/3x^3 + 9 равны x = 0, x = -2 и x = 2.
Перейдем ко второму вопросу.
2. Найдем экстремумы функции f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17.
Для этого снова найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 0.
Разделим обе части уравнения на 12x:
x^2 + x - 2 = 0.
Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или формулы дискриминанта.
(x + 2)(x - 1) = 0.
Таким образом, получаем два значения x: x = -2 и x = 1.
Теперь нам нужно проверить значения второй производной f''(x), чтобы узнать, являются ли найденные точки экстремумами.
f''(x) = 36x^2 + 24x - 24.
Подставим найденные значения x = -2 и x = 1 во вторую производную и получим:
f''(-2) = 36(-2)^2 + 24(-2) - 24 = 72 - 48 - 24 = 0.
f''(1) = 36(1)^2 + 24(1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36.
Таким образом, точка x = -2 является точкой перегиба, а точка x = 1 является локальным минимумом.
Перейдем к подвопросу б.
Найдем экстремумы функции f(x) = x^3 + 3/x - 12.
Сначала возьмем производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 3/x^2.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 - 3/x^2 = 0.
Умножим уравнение на x^2: 3x^4 - 3 = 0.
Разделим обе части уравнения на 3: x^4 - 1 = 0.
Теперь мы имеем квадратное уравнение: (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0.
Снова получаем два значения для x: x = -1 и x = 1.
Теперь подставим найденные значения x во вторую производную f''(x), чтобы проверить, являются ли они экстремумами:
f''(-1) = 6 - 6/1 = 0.
f''(1) = 6 - 6/1 = 0.
Таким образом, оба значения x = -1 и x = 1 являются точками перегиба, а не экстремумами.
Перейдем к третьему вопросу.
3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2.
Для этого нам нужно найти производную функции и определить знаки производной на различных участках.
Найдем производную функции:
f'(x) = 6x^2 - 18x + 12.
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
6x^2 - 18x + 12 = 0.
Разделим уравнение на 6: x^2 - 3x + 2 = 0.
Теперь факторизуем уравнение: (x - 1)(x - 2) = 0.
Таким образом, получим два значения x: x = 1 и x = 2.
Теперь построим таблицу знаков производной функции:
x | -∞ | 1 | 2 | +∞
-------|------|-------|-------|-------
f'(x) | + | - | + | +
Исходя из таблицы, функция возрастает на интервале (-∞, 1) и (2, +∞), и убывает на интервале (1, 2).
Перейдем к четвертому вопросу.
4. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -1/3x^3 + 7/2x^2 - 10x + 9 на отрезке [0, 3].
Для этого вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках.
Подставим x = 0 в функцию:
f(0) = -1/3(0)^3 + 7/2(0)^2 - 10(0) + 9 = 9.
Подставим x = 3 в функцию:
f(3) = -1/3(3)^3 + 7/2(3)^2 - 10(3) + 9 = -1/3(27) + 7/2(9) - 30 + 9 = -9 + 63/2 - 30 + 9 = -9 + 31.5 - 30 + 9 = 1.5.
Теперь найдем значения функции в стационарных точках:
f(0) = -1/3(0)^3 + 7/2(0)^2 - 10(0) + 9 = 9.
f(-2) = -1/3(-2)^3 + 7/2(-2)^2 - 10(-2) + 9 = -8/3 + 14 - 20 + 9 = 3.333.
Теперь сравним все полученные значения:
На отрезке [0, 3], наибольшее значение функции равно 9, а наименьшее значение функции равно 1.5.
Наконец, перейдем к пятому вопросу.
5. Построим график функции f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2.
Для построения графика нам нужно найти точки, в которых функция обращается в ноль, а также рассмотреть поведение функции на различных участках.
Первым делом найдем точки, в которых функция обращается в ноль:
-x^3 + 3x^2 - 2 = 0.
Мы не можем факторизовать это уравнение, поэтому воспользуемся численными методами для его решения. Получим два значения x: x ≈ -0.42 и x ≈ 2.42.
Далее составим таблицу знаков функции:
x | -∞ | -0.42 | 2.42 | +∞
-------|-------|-------|-------|-------
f(x) | - | 0 | - | -
Исходя из таблицы, можно сказать, что функция f(x) < 0 на интервалах (-∞, -0.42) и (2.42, +∞), и функция f(x) > 0 на интервале (-0.42, 2.42).
Теперь нарисуем график функции, используя полученные значения и информацию о поведении функции:
^
|
+ | .
| .
| ...
| ...
| ...
0 | . ..
| .
- | .
--------------------------------------->
-∞ x +∞
На графике можно увидеть, что функция f(x) имеет точки перегиба в точках x ≈ -0.42 и x ≈ 2.42. Также видно, что функция убывает на интервалах (-∞, -0.42) и (2.42, +∞), а возрастает на интервале (-0.42, 2.42).
Обратите внимание, что график функции приближенный и ориентировочный, и может потребоваться дальнейшая проверка и уточнение с помощью математических методов или графиков высокого качества.