Решить 19-е егэ. а) пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105. б) можно расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1? почему? докажите. в) какое наибольшее количество чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60? как? докажите.

Для x ≤ 0 и y ≥ 0:

Для x > 0 и y ≤ 0:

Для всех остальных x и y: точка не попадает в заштрихованную область.

Пошаговое объяснение:

Левая заштрихованная область — это четверть круга во второй четверти. Круг задаётся неравенством . Ограничения второй четверти: x ≤ 0, y ≥ 0.

Правая заштрихованная область — это область выше некоторого модуля. Модуль задаётся уравнением . Так как модуль опущен на R вниз, то c = -R. Так как "вершина" модуля сдвинута на R/2 вправо, то b = R/2. Известно, что точка (0; 0) принадлежит графику модуля. Найдём a:

Тогда искомое уравнение:

Нужное нам неравенство задаётся так: . Дополнительно также нужно ограничение y ≤ 0.

Остальные ребра разделятся сечением в отношении 2/15; 3/2; 12/5

Пошаговое объяснение:

Построение сечения.

В основе построения сечения куба лежит принцип - прямая пересекающая два ребра куба пересекает и прямые на которых лежат другие два ребра этого куба.

См. чертеж.

1) Проведем прямые:  

через точки В и В1

через точки В1 и С1

через точки P и Q

Так как все эти точки лежат в плоскости грани ВСС1В1, то точки пересечения построенных прямых тоже лежат в этой плоскости.

Обозначим пересечение прямых ВВ1 и PQ точкой Х1

Обозначим пересечение прямых В1С1 и PQ точкой Х2

Прямая Х1Х2 лежит и в плоскости грани ВСС1В1 и в плоскости сечения PQR.

2) Точка Х2 лежит в грани A1B1C1D1 так как лежит на ребре B1C1

Точка R лежит в плоскости сечения PQR.

Следовательно грань A1B1C1D1 и сечение PQR пересекаются по прямой Х2R.

Следовательно прямая Х2R пересекает и ребро A1B1.

Проведем прямую A1B1 и получим точку Х3 - точку пересечения прямой Х2R и прямой A1B1.

Кроме того прямая Х2R пересекает и ребро C1D1. Обозначим точку их пересечения Y1.

3) Точка Х3 лежит в грани ABB1A1 так как лежит на ребре A1B1

Точка Х1 лежит в плоскости сечения PQR (см п.1).

Следовательно грань ABB1A1 и сечение PQR пересекаются по прямой Х3Х2.

Следовательно прямая Х3Х2 пересекает и ребра AA1 и AB

Обозначим эти точки пересечения Y2 и Y3 соответственно.

Шестиугольник PQY1RY2Y3 - искомое сечение.

Вычислим отношения, в которых сечение делит пересекаемые ребра.

Пусть ребро куба равно 1 тогда

PC = PB = 0,5

CQ = 0,25

QC1= 0,75

RD1 = 0,2

RA1 = 0,8

Треугольники PBХ1 и PCQ подобны. Тогда X1B = 0,25

Треугольники PC1Q и X2C1Q подобны. Тогда C1X2 = 1,5

Треугольники Y1C1X2 и Y1D1R подобны. Тогда Y1D1 = 2/17 и Y1C1 = 15/17

Треугольники Y1D1R и X3A1R подобны. Тогда X3A1 = 8/17

Треугольники X3Y2A1 и X3X1B1 подобны. Тогда Y2A1 = 0,4 и Y2A = 0.6

Треугольники X3A1Y2 и Y3AY2 подобны. Тогда AY3 = 12/17 и Y3B = 5/17

Следовательно ребро D1C1 делится точкой Y1 в отношении  

D1Y1/Y1C1 = (2/17)/(15/17) = 2/15

Следовательно ребро AA1 делится точкой Y2 в отношении  

AY2/Y2A1 = 0,6/0,4 = 3/2

Следовательно ребро AB делится точкой Y3 в отношении  

AY3/Y3B = (12/17)/(5/17) = 12/5