Решить дана функция f (x)= 3x^5-5x^3-1 . найти промежутки возрастания и убывания и точки локального экстремума. изобразить график функции. найти наибольшее и наименьшее значения функции на [ 0 ; 2 ].

Дана функция f (x)= 3x⁵ - 5x³ - 1 .
1) Производная равна y' = 15x⁴ - 15x².
Приравняем её нулю: 15x⁴ - 15x² = 0.
15x²(x² - 1) = 0.
Отсюда имеем 3 критические точки:
х = 0,
х = 1,
х = -1.
Находим значения производной вблизи этих точек.
x =   -2        -1        -0,5         0               0,5        1          2
y' = 180       0      -2,8125      0          -2,8125      0       180.
Как видим, имеем 2 точки экстремума:
х = -1 точка локального максимума (производная меняет знак с + на -).
х = 1 точка локального минимума (производная меняет знак с - на +).

2) Промежутки возрастания и убывания находим по знаку производной.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Возрастает: х = (-∞; -1) ∪ (1; +∞).
Убывает: х = (-1; 1).

3) В точке х = 0 у = -1, в точке х = 1 минимум, у = -3 это наименьшее значение функции на отрезке [0; 2].
Так как функция возрастает при х > 1, то наибольшее  значение функции на [ 0 ; 2 ]: x =  2,  y =  55.