logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
ВероникаФардзинова

Решить диф. уравнение: x^3*y'+x^2*y-y^2=2x^4

Показать ответ
Ответ:
vika2499
vika2499
06.10.2020 20:26
Уравнение Риккати. 
x^3y'+x^2y-y^2=2x^4
Разделим на x^3
y' + \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 2x
Ищем частное решение. Пусть y_1 = cx^2, подставляем в уравнение:
(cx^2)' + \frac{cx^2}{x} + \frac{(cx^2)^2}{x^3} = 2x
2cx + cx - c^2x - 2x = 0


c^2 - 3c + 2 = 0
D = 9 - 8 = 1
\sqrt{D} =1
c_1 = 1
y_1 = c_1x^2 = x^2
Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:
y = y_1 + v = x^2 + v
Снова подставляем в уравнение:
(x^2 + v)' + \frac{x^2 + v}{x} - \frac{(x^2 + v)^2}{x^3} = 2x
2x+ v' + x+ \frac{v}{x} - x - \frac{2v}{x} - \frac{v^2}{x^3} = 0
v' - \frac{v}{x} = \frac{u^2}{x^3}
\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{v^2}{x^3}
Разделим на v^2 обе части:
\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{vx} = \frac{1}{x^3}
Пусть: g = \frac{1}{v}, тогда g' = \frac{v'}{v^2}
Итоговое уравнение после подстановки:
g' + \frac{g}{x} = - \frac{1}{x^3}
Домножим на x 
x\frac{dg}{dx} + g = - \frac{1}{x^2} 

\frac{d}{dx}(xdg) + \frac{d}{dx}(gdx) = - \frac{1}{x^2}
По правилам дифференцирования произведения производных (uv)' = u'v + v'u, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем:
\frac{d}{dx} (x*g) = - \frac{1}{x^2}
\int \frac{d}{dx}xg = \int - \frac{1}{x^2} dx
xg = \frac{1}{x} + C
g = \frac{1}{v} = \frac{1+ Cx}{x^2} }
v = \frac{x^2}{1+ Cx} }
ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:
y = y_1 + v = x^2 + \frac{x^2}{1+ Cx} } = \frac{x^2+ x^2 + Cx^3}{1+ Cx} } = \frac{2x^2 + Cx^3}{1+ Cx} }
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
kosonogova
kosonogova
24.03.2021 23:22
Исследовать функцию по плану и построить график: f(x)=x³-27x​...
digrigoreva61
digrigoreva61
06.09.2020 23:04
Спрости вираз a+(a-16)-(23+a). -14a-15b+3a+18b. єслі що то то два приклади ​...
Софийкф
Софийкф
09.07.2022 13:08
Найдите значения выражения |-3,7|×|4,2|;|7,2|÷|-0,6|;|-3/7|+|1/14|...
milisochka1
milisochka1
28.11.2021 08:44
Вообще это не совсем математика, это предмет моделирование технологий сделайте такой же алгоритм, но по своему, мне никакие идеи не приходят...
sukhodolova
sukhodolova
05.01.2021 06:08
сразу отмечу тех кто ответит ​...
fdffxdf
fdffxdf
05.01.2021 06:08
При якому значені k графік функції y=kx+4 проходить через точку (-2;10)​...
BoomerLass
BoomerLass
27.08.2021 16:39
-25|x|-1=-9=? очень кто может ?​...
незнайка3333333333
незнайка3333333333
04.11.2020 08:38
6(2n-4,5)-3(2/3n-9) довести, що при будь-якому значенні n буде кратним числу 5​...
eroly12ramblerr2
eroly12ramblerr2
04.02.2021 02:41
сразу отмечаю тех кто ответил ​...
оарташ
оарташ
26.03.2021 05:23
-3(1,2x-2)-(4-4,6x)+6(0,2-1) якщо x=-10 ​...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота