Добрый день! Постараюсь дать вам максимально понятное и подробное объяснение.
У нас есть координатная прямая, на которой отмечены числа а и b. Мы хотим найти точку x, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. x - a > 0 - это означает, что точка x должна быть больше числа а.
2. x - b < 0 - это означает, что точка x должна быть меньше числа b.
3. а в квадрате, умноженное на x > 0 - это означает, что произведение числа а в квадрате на число x должно быть больше нуля.
Примечание: чтобы число было больше нуля, оно должно быть либо положительным, либо ноль.
Давайте разберемся с каждым условием по очереди:
1. x - a > 0
Для того чтобы найти точку x, которая больше числа а, нужно от числа а отнять, то есть вычесть, нашу новую точку x:
x > a
2. x - b < 0
Для того чтобы найти точку x, которая меньше числа b, нужно от числа b отнять, то есть вычесть, нашу новую точку x:
x < b
3. а в квадрате, умноженное на x > 0
Для того чтобы произведение числа а в квадрате на число x было больше нуля, нужно знать знак числа а.
Если число а положительное, то оно остается положительным после возведения в квадрат.
Если же число а отрицательное, то оно становится положительным после возведения в квадрат.
Таким образом, у нас есть два варианта:
a > 0 и a^2 * x > 0 - проверяем эти условия отдельно
Или
a < 0 и a^2 * x > 0 - проверяем эти условия отдельно
Вот и все условия, которые мы должны учесть. Теперь мы можем найти точку x, которая удовлетворяет всем этим условиям.
Чтобы найти экстремумы функции, нужно сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем решить получившееся уравнение для нахождения значений x, в которых производная равна нулю. Эти значения x будут являться точками экстремума.
Данная функция имеет вид: f(x) = 2 - 6x - 2x^3 + x^2
1. Возьмем производную f'(x) этой функции. Для этого используем правила дифференцирования:
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
0 = -6 - 6x^2 + 2x
6x^2 - 2x - 6 = 0
3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем метод дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-2)^2 - 4 * 6 * (-6)
D = 4 + 144
D = 148
4. Найдем корни уравнения, используя формулу:
x = (-b ± √D) / 2a
x = (-(-2) ± √148) / 2 * 6
x = (2 ± √148) / 12
5. Упростим полученные значения:
x1 = (2 + √148) / 12
x2 = (2 - √148) / 12
6. Таким образом, нашли две точки экстремума функции. Но чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности каждой точки.
Для этого произведем вторую производную и подставим найденные значения x:
f''(x) = d^2/dx^2 (f(x))
f''(x) = 0 - 0 + 12x - 2
Подставим x1 и x2 в эту формулу и посмотрим, что получится:
На основе данного анализа, можно сделать следующие выводы:
- Точка x1 = (2 + √148) / 12 является точкой минимума функции, так как производная в этой точке положительна.
- Точка x2 = (2 - √148) / 12 является точкой максимума функции, так как производная в этой точке отрицательна.
Таким образом, точки экстремума данной функции - это точка минимума (x1) и точка максимума (x2).
У нас есть координатная прямая, на которой отмечены числа а и b. Мы хотим найти точку x, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. x - a > 0 - это означает, что точка x должна быть больше числа а.
2. x - b < 0 - это означает, что точка x должна быть меньше числа b.
3. а в квадрате, умноженное на x > 0 - это означает, что произведение числа а в квадрате на число x должно быть больше нуля.
Примечание: чтобы число было больше нуля, оно должно быть либо положительным, либо ноль.
Давайте разберемся с каждым условием по очереди:
1. x - a > 0
Для того чтобы найти точку x, которая больше числа а, нужно от числа а отнять, то есть вычесть, нашу новую точку x:
x > a
2. x - b < 0
Для того чтобы найти точку x, которая меньше числа b, нужно от числа b отнять, то есть вычесть, нашу новую точку x:
x < b
3. а в квадрате, умноженное на x > 0
Для того чтобы произведение числа а в квадрате на число x было больше нуля, нужно знать знак числа а.
Если число а положительное, то оно остается положительным после возведения в квадрат.
Если же число а отрицательное, то оно становится положительным после возведения в квадрат.
Таким образом, у нас есть два варианта:
a > 0 и a^2 * x > 0 - проверяем эти условия отдельно
Или
a < 0 и a^2 * x > 0 - проверяем эти условия отдельно
Вот и все условия, которые мы должны учесть. Теперь мы можем найти точку x, которая удовлетворяет всем этим условиям.
Данная функция имеет вид: f(x) = 2 - 6x - 2x^3 + x^2
1. Возьмем производную f'(x) этой функции. Для этого используем правила дифференцирования:
f'(x) = d/dx (2) - d/dx (6x) - d/dx (2x^3) + d/dx (x^2)
f'(x) = 0 - 6 - 6x^2 + 2x
2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
0 = -6 - 6x^2 + 2x
6x^2 - 2x - 6 = 0
3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем метод дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-2)^2 - 4 * 6 * (-6)
D = 4 + 144
D = 148
4. Найдем корни уравнения, используя формулу:
x = (-b ± √D) / 2a
x = (-(-2) ± √148) / 2 * 6
x = (2 ± √148) / 12
5. Упростим полученные значения:
x1 = (2 + √148) / 12
x2 = (2 - √148) / 12
6. Таким образом, нашли две точки экстремума функции. Но чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности каждой точки.
Для этого произведем вторую производную и подставим найденные значения x:
f''(x) = d^2/dx^2 (f(x))
f''(x) = 0 - 0 + 12x - 2
Подставим x1 и x2 в эту формулу и посмотрим, что получится:
Для x1:
f''(x1) = 12 * (2 + √148) / 12 - 2 = 2 + √148 - 2 = √148 > 0
Для x2:
f''(x2) = 12 * (2 - √148) / 12 - 2 = 2 - √148 - 2 = -√148 < 0
На основе данного анализа, можно сделать следующие выводы:
- Точка x1 = (2 + √148) / 12 является точкой минимума функции, так как производная в этой точке положительна.
- Точка x2 = (2 - √148) / 12 является точкой максимума функции, так как производная в этой точке отрицательна.
Таким образом, точки экстремума данной функции - это точка минимума (x1) и точка максимума (x2).