Прежде всего заметим, что обе функции - ln(x²+1) и 1-x² - являются чётными и определены на всей числовой оси. При этом очевидно, что число x=0 не является корнем уравнения. Поэтому достаточно найти все корни уравнения на интервале (0;∞) и умножить их число на 2. Так как x²+1≥1, то ln(x²+1)≥0. Поэтому равенство возможно лишь при условии 1-x²≥0, т.е. при -1≤x≤1. Таким образом, интервал (0;∞) сужается до интервала (0;1]. Производная функции y1(x)=ln(x²+1) y1'=2*x/(x²+1) на этом интервале положительна, так что функция y1(x) на этом интервале монотонно возрастает. Производная же функции y2(x)=1-x² y2'=-2*x на этом интервале отрицательна, так что функция y2(x) на этом интервале монотонно убывает. И так как при этом y2(0)=1>y1(0)=0, а y2(1)=0<y1(1)=ln(2), то на интервале (0;1] имеется ровно один корень уравнения, а тогда - в силу вышесказанного - всего это уравнение имеет 1*2=2 корня.
ответ: 2 корня.
Пошаговое объяснение:
Прежде всего заметим, что обе функции - ln(x²+1) и 1-x² - являются чётными и определены на всей числовой оси. При этом очевидно, что число x=0 не является корнем уравнения. Поэтому достаточно найти все корни уравнения на интервале (0;∞) и умножить их число на 2. Так как x²+1≥1, то ln(x²+1)≥0. Поэтому равенство возможно лишь при условии 1-x²≥0, т.е. при -1≤x≤1. Таким образом, интервал (0;∞) сужается до интервала (0;1]. Производная функции y1(x)=ln(x²+1) y1'=2*x/(x²+1) на этом интервале положительна, так что функция y1(x) на этом интервале монотонно возрастает. Производная же функции y2(x)=1-x² y2'=-2*x на этом интервале отрицательна, так что функция y2(x) на этом интервале монотонно убывает. И так как при этом y2(0)=1>y1(0)=0, а y2(1)=0<y1(1)=ln(2), то на интервале (0;1] имеется ровно один корень уравнения, а тогда - в силу вышесказанного - всего это уравнение имеет 1*2=2 корня.